Integrale con cammino complesso
Buonasera a tutti,
volevo chiedervi delucidazioni sulla risoluzione di questo integrale:
\[ \int_0^{+\infty} \frac{x^{1/4}}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \]
Purtroppo nello svolgimento mi trovo in difficoltà nel calcolo dei residui, uscendomi fuori come risultato finale un numero ben diverso da quello effettivo (controllato via risolutore online), che è:
\[ 3/16 \pi \sec(\pi/8)\]
Chiedo se qualcuno possa preventivamente aiutarmi nel capire lo svolgimento a grandi linee. Ringrazio in anticipo chiunque mi risponderà
[xdom="Martino"]Ho sistemato il codice. Vedi qui per supporto.[/xdom]
volevo chiedervi delucidazioni sulla risoluzione di questo integrale:
\[ \int_0^{+\infty} \frac{x^{1/4}}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \]
Purtroppo nello svolgimento mi trovo in difficoltà nel calcolo dei residui, uscendomi fuori come risultato finale un numero ben diverso da quello effettivo (controllato via risolutore online), che è:
\[ 3/16 \pi \sec(\pi/8)\]
Chiedo se qualcuno possa preventivamente aiutarmi nel capire lo svolgimento a grandi linee. Ringrazio in anticipo chiunque mi risponderà
[xdom="Martino"]Ho sistemato il codice. Vedi qui per supporto.[/xdom]
Risposte
Si tratta di un classico. Per essere sicuro di calcolarlo correttamente, puoi cominciare ad applicare la formula sottostante:
Nel tuo caso:
\[\int_{0}^{\infty} \frac{x^a}{P(x)}dx=\frac{2\pi i}{1-e^{2\pi i(a-1)}}\sum Res (\frac{z^{a}}{P{(z)}}, z_{k})\]
Nel tuo caso:
$[a=1/4] ^^ [P(x)=(1+x^2)^2] ^^ [z_1=-i] ^^ [z_2=i]$
Grazie mille 
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