Integrale complesso su un quadrato
salve ho alcuni problemi nella risoluzione di quest'integrale sul quadrato espresso.
a primo impatto calcolerei la soluzione con uno sviluppo di laurant siccome si ha una singolarità essenziale in x=0, ma siccome lo devo calcolare sulla curva questo non è possibile.
Una volta fatta la parametrizzazione non so some procedere.
$\int_ Γ\z^2*e^(frac{1}{z^3}\ \text{d} z$
la curva è (1,1)(1,-1)(-1,1)(-1,-1)
a primo impatto calcolerei la soluzione con uno sviluppo di laurant siccome si ha una singolarità essenziale in x=0, ma siccome lo devo calcolare sulla curva questo non è possibile.
Una volta fatta la parametrizzazione non so some procedere.
$\int_ Γ\z^2*e^(frac{1}{z^3}\ \text{d} z$
la curva è (1,1)(1,-1)(-1,1)(-1,-1)
Risposte
Ciao luib_01,
Benvenuto/a sul forum!
Immagino che l'integrale proposto sia il seguente:
$\int_{\Gamma} z^2 e^{frac{1}{z^3}} \text{d}z $
per cui la funzione integranda è $f(z) = z^2 e^{frac{1}{z^3}} $
L’unica singolarità contenuta in $\Gamma$ è ovviamente $z = 0 $, che è una singolarità essenziale. Infatti, ricordando che si ha
$e^w = 1 + w + w^2/(2!) + ... + w^n/(n!) + ... $
$\AA w \in \CC $ si ha $e^{frac{1}{z^3}} = 1 + 1/z^3 + 1/(2! z^6) + ... + 1/(n! z^{3n}) + ... $
$\AA z \in \CC - {0} $, e quindi si ha:
$z^2 e^{frac{1}{z^3}} = z^2 + 1/z + 1/(2!z^4) + ... + 1/(n! z^{3n - 2}) + ... = z^2 + \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n! z^{3n - 2}) $
La parte regolare è $z^2 $, il residuo (coefficiente di $z^{- 1}$) è $1 $.
Benvenuto/a sul forum!
Immagino che l'integrale proposto sia il seguente:
$\int_{\Gamma} z^2 e^{frac{1}{z^3}} \text{d}z $
per cui la funzione integranda è $f(z) = z^2 e^{frac{1}{z^3}} $
L’unica singolarità contenuta in $\Gamma$ è ovviamente $z = 0 $, che è una singolarità essenziale. Infatti, ricordando che si ha
$e^w = 1 + w + w^2/(2!) + ... + w^n/(n!) + ... $
$\AA w \in \CC $ si ha $e^{frac{1}{z^3}} = 1 + 1/z^3 + 1/(2! z^6) + ... + 1/(n! z^{3n}) + ... $
$\AA z \in \CC - {0} $, e quindi si ha:
$z^2 e^{frac{1}{z^3}} = z^2 + 1/z + 1/(2!z^4) + ... + 1/(n! z^{3n - 2}) + ... = z^2 + \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n! z^{3n - 2}) $
La parte regolare è $z^2 $, il residuo (coefficiente di $z^{- 1}$) è $1 $.
"luib_01":
salve ho alcuni problemi nella risoluzione di quest'integrale sul quadrato espresso.
a primo impatto calcolerei la soluzione con uno sviluppo di laurant siccome si ha una singolarità essenziale in x=0, ma siccome lo devo calcolare sulla curva questo non è possibile.
Ti consiglierei di ripetere la teoria prima di fare esercizi.
Per il resto, il terzo teorema dei residui ti dice anche che puoi guardare fuori dal dominio delimitato dalla curva.
Quali singolarità ha la tua funzione fuori dal quadrato?
Di che tipo sono?
Come si calcola il residuo?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo