Integrale complesso su rettangolo
Salve,
Sul mio libro di analisi complessa (il Cartan) si fa uso a un certo punto della seguente proposizione:
Sia $R \subset CC$ un rettangolo (con i lati paralleli agli assi).
Sia $\gamma$ la curva che parametrizza il perimetro in senso antiorario (per fissare le idee partiamo dal vertice in basso a destra).
Sia $z_0$ punto interno al rettangolo e $A$ l'area del rettangolo.
Allora $\int_{\gamma} |z-z_0| dz=A$
Intuitivamente la cosa mi pare molto ragionevole, ma vorrei averne una dimostrazione formale.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Sul mio libro di analisi complessa (il Cartan) si fa uso a un certo punto della seguente proposizione:
Sia $R \subset CC$ un rettangolo (con i lati paralleli agli assi).
Sia $\gamma$ la curva che parametrizza il perimetro in senso antiorario (per fissare le idee partiamo dal vertice in basso a destra).
Sia $z_0$ punto interno al rettangolo e $A$ l'area del rettangolo.
Allora $\int_{\gamma} |z-z_0| dz=A$
Intuitivamente la cosa mi pare molto ragionevole, ma vorrei averne una dimostrazione formale.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Beh, fai il conto esplicitamente con la definizione.
Si tratta di integrare una coppia di forme differenziali reali su $gamma$. Prova e vedi che ne viene fuori.
Si tratta di integrare una coppia di forme differenziali reali su $gamma$. Prova e vedi che ne viene fuori.
WLOG $z_0=0$
Siano ${a+ic, b+ic, b+i d, a+i d}$ i vertici del rettangolo, stavolta li immagino ordinati in senso antiorario partendo da quello in basso a sx.
Vediamo separatamente l'integrale su ogni lato:
$\int_{\gamma_1} |z| dz= \int_{a}^{b} \sqrt(t^2+c^2) dt $
$\int_{\gamma_2} |z| dz= \int_{c}^{d} i\sqrt(b^2+t^2) dt $
$\int_{\gamma_3} |z| dz= -\int_{a}^{b} \sqrt(t^2+d^2) dt $
$\int_{\gamma_4} |z| dz= -\int_{c}^{d} i\sqrt(a^2+t^2) dt $
Ora la somma dovrebbe dare l'integrale voluto, ma non mi torna che questo sia l'area del rettangolo
(Anzi mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla... qualcuno sa dirmi dove sbaglio?)
Siano ${a+ic, b+ic, b+i d, a+i d}$ i vertici del rettangolo, stavolta li immagino ordinati in senso antiorario partendo da quello in basso a sx.
Vediamo separatamente l'integrale su ogni lato:
$\int_{\gamma_1} |z| dz= \int_{a}^{b} \sqrt(t^2+c^2) dt $
$\int_{\gamma_2} |z| dz= \int_{c}^{d} i\sqrt(b^2+t^2) dt $
$\int_{\gamma_3} |z| dz= -\int_{a}^{b} \sqrt(t^2+d^2) dt $
$\int_{\gamma_4} |z| dz= -\int_{c}^{d} i\sqrt(a^2+t^2) dt $
Ora la somma dovrebbe dare l'integrale voluto, ma non mi torna che questo sia l'area del rettangolo
(Anzi mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla... qualcuno sa dirmi dove sbaglio?)
"jinsang":
... mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla ...
Veramente, nel caso in cui $z_0$ coincida con l'origine, centro di simmetria del rettangolo, a me pare che l'integrale sia nullo:
$[-b/2 lt= x lt= b/2] ^^ [z=x+ih/2] rarr [dz=dx] ^^ [I_12=-\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx]$
$[-h/2 lt= y lt= h/2] ^^ [z=-b/2+iy] rarr [dz=i dy] ^^ [I_23=-i\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]$
$[-b/2 lt= x lt= b/2] ^^ [z=x-ih/2] rarr [dz=dx] ^^ [I_34=\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx]$
$[-h/2 lt= y lt= h/2] ^^ [z=b/2+iy] rarr [dz=i dy] ^^ [I_41=i\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]$
$I=I_12+I_23+I_34+I_41=0$
Sei sicuro di aver scritto correttamente il testo? Magari l'integrale non è:
$\int_{\gamma}|z-z_0|dz$
piuttosto:
$\int_{\gamma}|z-z_0||dz|=2[\int_{-b/2}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx+\int_{-h/2}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]=$
$=4[\int_{0}^{b/2}sqrt(x^2+h^2/4)dx+\int_{0}^{h/2}sqrt(y^2+b^2/4)dy]=h^2\int_{0}^{b/h}sqrt(t^2+1)dt+b^2\int_{0}^{h/b}sqrt(t^2+1)dt$
Ad ogni modo, se così fosse, il risultato non sarebbe quello.
Ma infatti avevo interpretato male quanto diceva il libro.
Scusate per avervi fatto perdere tempo.
Scusate per avervi fatto perdere tempo.
"jinsang":
(Anzi mi sembra che abbia parte immaginaria non nulla... qualcuno sa dirmi dove sbaglio?)
Vedo che il problema è risolto, ma comunque era solo per dire che anche a me risulta che quell'integrale non è, in generale, reale.
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