Integrale complesso, singolarità
Salve ragazzi,
devo svolgere l'integrale lungo il bordo di D di questa funzione:
$( e^(z^2))/((z^2-1)^2sen(\pi z))$ Con $D:={ z \in C : |z-1/2|<1}$
Il procedimento mi è chiarissimo, infatti non sono qui per quello, bensì per un dubbio forse un po' stupido.
Procedo al calcolo delle singolarità.
Da $(z^2-1)^"$ ottengo che le sigolarità sono $1$ e $-1$.
Invece da $sen(\pi z )$ ho qualche dubbio.
In generale, se ho $sen(x) = 0$ posso scrivere $x=0 + 2k\pi$ v $x= \pi+ 2k\pi$
Nel mio caso avrei rispettivamente $z=0$ e $z=1$ ... $+2k\pi$.
Non potendomi trascinare il periodo, mi sono bloccato.
Mi chiedevo, poichè se al posto di $z$ sostituisco anche $2$, o comunque un altro numero per cui il seno va a 0...come devo regolarmi in questo caso? Anche con $-1$ il seno andrebbe a $0$
Risolta questa cosa so procedere. Grazie.
devo svolgere l'integrale lungo il bordo di D di questa funzione:
$( e^(z^2))/((z^2-1)^2sen(\pi z))$ Con $D:={ z \in C : |z-1/2|<1}$
Il procedimento mi è chiarissimo, infatti non sono qui per quello, bensì per un dubbio forse un po' stupido.
Procedo al calcolo delle singolarità.
Da $(z^2-1)^"$ ottengo che le sigolarità sono $1$ e $-1$.
Invece da $sen(\pi z )$ ho qualche dubbio.
In generale, se ho $sen(x) = 0$ posso scrivere $x=0 + 2k\pi$ v $x= \pi+ 2k\pi$
Nel mio caso avrei rispettivamente $z=0$ e $z=1$ ... $+2k\pi$.
Non potendomi trascinare il periodo, mi sono bloccato.
Mi chiedevo, poichè se al posto di $z$ sostituisco anche $2$, o comunque un altro numero per cui il seno va a 0...come devo regolarmi in questo caso? Anche con $-1$ il seno andrebbe a $0$
Risolta questa cosa so procedere. Grazie.
Risposte
Premesso che:
$[sen\piz=0] harr [\piz=k\pi] harr [z=k]$
l'integrale richiede il calcolo dei residui in $z=0$ e in $z=1$, quelli appartenenti a $D$ per intenderci.
$[sen\piz=0] harr [\piz=k\pi] harr [z=k]$
l'integrale richiede il calcolo dei residui in $z=0$ e in $z=1$, quelli appartenenti a $D$ per intenderci.
Giusto. Questa mattina dormo. Grazie mille. Farò più attenzione =P
Ma sempre in merito alle singolarità, 0 è polo di ordine 5?
1 è polo di ordine 2?
1 è polo di ordine 2?
Veramente, $z=0$ è un polo di ordine $1$ e $z=1$ è un polo di ordine $2$.
Ho problemi con il limite per $z$ che tende a $0$ di $f(z) (z)$.
Sostituendo mi trovo $0/0$, ho provato con taylor ma non me ne esco.Sicuramente sbaglio qualcosa ma non ho capito cosa.
Sostituendo mi trovo $0/0$, ho provato con taylor ma non me ne esco.Sicuramente sbaglio qualcosa ma non ho capito cosa.
$lim_(z->0)zf(z)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2sen\piz)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2(\piz+o(z)))=lim_(z->0)(ze^(z^2))/(z(z^2-1)^2(\pi+o(1)))=$
$=lim_(z->0)e^(z^2)/((z^2-1)^2(\pi+o(1)))=1/\pi$
$=lim_(z->0)e^(z^2)/((z^2-1)^2(\pi+o(1)))=1/\pi$
"anonymous_0b37e9":
$lim_(z->0)zf(z)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2sen\piz)=lim_(z->0)(ze^(z^2))/((z^2-1)^2(\piz+o(z)))=lim_(z->0)(ze^(z^2))/(z(z^2-1)^2(\pi+o(1)))=$
$=lim_(z->0)e^(z^2)/((z^2-1)^2(\pi+o(1)))=1/\pi$
Grazie, nell'ultimo passaggio avevo saltato una z
grazie mille!
Ma che Taylor... I limiti notevoli bastano e avanzano pure!
Continuo a ripetere che non si può pensare di sostenere un esame di Analisi superiore senza ricordare Analisi I.
Come disse il mio prof di Analisi I ad una boccianda che lamentava confusione dovuta a stato influenzale: "Signorina, ci sono cose che uno studente di Matematica deve sapere anche in punto di morte".
Continuo a ripetere che non si può pensare di sostenere un esame di Analisi superiore senza ricordare Analisi I.
Come disse il mio prof di Analisi I ad una boccianda che lamentava confusione dovuta a stato influenzale: "Signorina, ci sono cose che uno studente di Matematica deve sapere anche in punto di morte".
Sicuramente, ma Taylor è uno dei modi per risolvere la faccenda, anche se sicuramente i limiti notevoli vanno più che bene.
In ogni caso,gugo,tranquillo! Ho ancora un po' di tempo per ripassare e affinare tutti i concetti
Grazie
In ogni caso,gugo,tranquillo! Ho ancora un po' di tempo per ripassare e affinare tutti i concetti
Grazie
"gugo82":
"Signorina, ci sono cose che uno studente di Matematica deve sapere anche in punto di morte".
Da me si diceva "ci sono cose che un matematico deve sapere anche dormendo", questa versione è più lugubre e forse anche più efficace
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