Integrale complesso e discontiuità sulla frontiera
Buongiorno, avrei bisogno di una mano con un integrale.
L'integrale è questo
\[\int_{|z|=\pi}e^{\frac{1}{z}}+\frac{e^z}{1-cos(z)} dz \].
Ho ragionato così, un po' per fede ho spezzato l'integrale sperando che non si presentino forme indeterminate.
Ho risolto il poi il primo pezzo sfruttando la teoria dei residui quindi:
\[\int_{|z|=\pi}e^{\frac{1}{z}} dz = 2\pi i R[0]= 2\pi i *1\]
Il residuo l'ho calcolato semplicemente sviluppando e^1/z con Laurent.
Il problema arriva adesso, non so come continuare perché sulla frontiera c'è il polo (doppio) della funzione integranda e quindi non posso avvalermi ( o almeno credo ) del teorema dei residui. Normalmente cercherei di escludere dal dominio il punto magari cicondandolo con una circonferenza e facendo tendere poi il raggio di quest ultima a zero, ma in questo caso non ci riesco.
Grazie in anticipo a chi saprà rispondermi.
L'integrale è questo
\[\int_{|z|=\pi}e^{\frac{1}{z}}+\frac{e^z}{1-cos(z)} dz \].
Ho ragionato così, un po' per fede ho spezzato l'integrale sperando che non si presentino forme indeterminate.
Ho risolto il poi il primo pezzo sfruttando la teoria dei residui quindi:
\[\int_{|z|=\pi}e^{\frac{1}{z}} dz = 2\pi i R[0]= 2\pi i *1\]
Il residuo l'ho calcolato semplicemente sviluppando e^1/z con Laurent.
Il problema arriva adesso, non so come continuare perché sulla frontiera c'è il polo (doppio) della funzione integranda e quindi non posso avvalermi ( o almeno credo ) del teorema dei residui. Normalmente cercherei di escludere dal dominio il punto magari cicondandolo con una circonferenza e facendo tendere poi il raggio di quest ultima a zero, ma in questo caso non ci riesco.
Grazie in anticipo a chi saprà rispondermi.
Risposte
Se l'equazione è $|z|=\pi$, non esistono singolarità sulla frontiera. Insomma, l'unica singolarità $z=0$ è interna al dominio.
Hai perfetamente ragione T.T.
Oramai mi ero convinto che pi greco annullasse il denominatore, ma ero propruo convinto T.T. E nulla il secondo pezzo si fa similmente al primo.
Grazie per avermi fatto notare l'errore (scemo).
Si può chiudere.
Oramai mi ero convinto che pi greco annullasse il denominatore, ma ero propruo convinto T.T. E nulla il secondo pezzo si fa similmente al primo.
Grazie per avermi fatto notare l'errore (scemo).
Si può chiudere.
Contento che l’errore sia stato trovato.
Tuttavia, capita a volte di beccare singolarità sul circuito di integrazione… E come si fa?
Beh, semplice: le si aggira con un arco piccolo e si applica il Lemma di Jordan (dell’arco piccolo, appunto).
P.S.: Scusate l’UP, ma questa discussione mi era sfuggita prima.
Tuttavia, capita a volte di beccare singolarità sul circuito di integrazione… E come si fa?
Beh, semplice: le si aggira con un arco piccolo e si applica il Lemma di Jordan (dell’arco piccolo, appunto).
P.S.: Scusate l’UP, ma questa discussione mi era sfuggita prima.
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