Integrale complesso con logaritmo
Buongiorno a tutti,
vorrei chiedervi qualche delucidazioni su questo integrale:
$\int_0^1 ln((x^2+sqrt(3)x+1)/(x^2-sqrt(3)x+1)) dx/x$
Non ho idea neanche sul se posso utilizzare il metodo dei residui, ed in caso affermativo quale cammino utilizzare. Qualcuno può darmi un punto da cui partire?
vorrei chiedervi qualche delucidazioni su questo integrale:
$\int_0^1 ln((x^2+sqrt(3)x+1)/(x^2-sqrt(3)x+1)) dx/x$
Non ho idea neanche sul se posso utilizzare il metodo dei residui, ed in caso affermativo quale cammino utilizzare. Qualcuno può darmi un punto da cui partire?
Risposte
L'integrale \(\int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \) può essere calcolato in due modi diversi.
Primo modo : sviluppare \(\frac{\ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} = \frac{\ln(1+xe^{i\theta})+\ln(1+xe^{-i\theta})}{x}\) in una serie di potenze \(2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} \cos(n\theta)\). Verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere nel risultato finale ottenuto lo sviluppo della funzione \(\theta \in [-\pi,\pi] \to \frac{\pi^2-3\theta^2}{6}\) in une serie di Fourier.
Secondo modo : considerare la funzione \(f : \theta \in ]-\pi, \pi[ \to \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Verificare le ipotesi da derivarla. \(f'(\theta) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Allora, Possiamo calcolare \(f'(\theta)\) abbastanza facilmente et trovare \(f'(\theta) = -\theta\). Quidi, \(f(\theta) = f(0) - \frac{\theta^2}{2}\). Possiamo calcolare \(f(0)\) quasi come nel primo modo ma più facilmente. Sviluppare \(\frac{\ln(x+1)}{x}\) in una serie di potenze , verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere la serie finale.
Primo modo : sviluppare \(\frac{\ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} = \frac{\ln(1+xe^{i\theta})+\ln(1+xe^{-i\theta})}{x}\) in una serie di potenze \(2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} \cos(n\theta)\). Verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere nel risultato finale ottenuto lo sviluppo della funzione \(\theta \in [-\pi,\pi] \to \frac{\pi^2-3\theta^2}{6}\) in une serie di Fourier.
Secondo modo : considerare la funzione \(f : \theta \in ]-\pi, \pi[ \to \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Verificare le ipotesi da derivarla. \(f'(\theta) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Allora, Possiamo calcolare \(f'(\theta)\) abbastanza facilmente et trovare \(f'(\theta) = -\theta\). Quidi, \(f(\theta) = f(0) - \frac{\theta^2}{2}\). Possiamo calcolare \(f(0)\) quasi come nel primo modo ma più facilmente. Sviluppare \(\frac{\ln(x+1)}{x}\) in una serie di potenze , verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere la serie finale.
"Euclidino":
L'integrale \( \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \) può essere calcolato in due modi diversi.
Primo modo : sviluppare \( \frac{\ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} = \frac{\ln(1+xe^{i\theta})+\ln(1+xe^{-i\theta})}{x} \) in una serie di potenze \( 2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} \cos(n\theta) \). Verificare le ipotesi da cambiare \( \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \) in \( \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \). Riconoscere nel risultato finale ottenuto lo sviluppo della funzione \( \theta \in [-\pi,\pi] \to \frac{\pi^2-3\theta^2}{6} \) in une serie di Fourier.
Secondo modo : considerare la funzione \( f : \theta \in ]-\pi, \pi[ \to \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \). Verificare le ipotesi da derivarla. \( f'(\theta) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \). Allora, Possiamo calcolare \( f'(\theta) \) abbastanza facilmente et trovare \( f'(\theta) = -\theta \). Quidi, \( f(\theta) = f(0) - \frac{\theta^2}{2} \). Possiamo calcolare \( f(0) \) quasi come nel primo modo ma più facilmente. Sviluppare \( \frac{\ln(x+1)}{x} \) in una serie di potenze , verificare le ipotesi da cambiare \( \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \) in \( \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \). Riconoscere la serie finale.
"Euclidino":
L'integrale \(\int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \) può essere calcolato in due modi diversi.
Primo modo : sviluppare \(\frac{\ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} = \frac{\ln(1+xe^{i\theta})+\ln(1+xe^{-i\theta})}{x}\) in una serie di potenze \(2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} \cos(n\theta)\). Verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere nel risultato finale ottenuto lo sviluppo della funzione \(\theta \in [-\pi,\pi] \to \frac{\pi^2-3\theta^2}{6}\) in une serie di Fourier.
Secondo modo : considerare la funzione \(f : \theta \in ]-\pi, \pi[ \to \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Verificare le ipotesi da derivarla. \(f'(\theta) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Allora, Possiamo calcolare \(f'(\theta)\) abbastanza facilmente et trovare \(f'(\theta) = -\theta\). Quidi, \(f(\theta) = f(0) - \frac{\theta^2}{2}\). Possiamo calcolare \(f(0)\) quasi come nel primo modo ma più facilmente. Sviluppare \(\frac{\ln(x+1)}{x}\) in una serie di potenze , verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere la serie finale.
Grazie mille
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