Integrale complesso con logaritmo
ciao a tutti! ho il seguente integrale:
$I = int_(0)^(oo) dx sqrtx / (x+i)^2$
ho pensato di risolverlo sfruttando il cammino $gamma$ detto "keyhole" (quello che sembra pacman) prendendo come taglio del logaritmo l'asse positivo delle x. si ha una singolarità in $z=-i$ che è un polo di ordine 2. premesso questo l'integrale su $gamma$ diventa (dopo aver promosso x a variabile complessa z):
$int_(0)^(oo) dx sqrtx / (x+i)^2 - int_(0)^(oo) dx (e^(1/2(log|x|+2 pi i))) / (x+i)^2 = (1+i)I$
il contributo dei due semicerchi è nullo per $R->oo ^^ epsilon->0$
lo stesso integrale però è calcolabile con il teorema dei residui percui, provando a calcolare il residuo per un polo di ordine 2 ottengo:
$Res(f(z),-i)=lim_(z->-i)d/(dz)[sqrt(z)]=lim_(z->-i)1/(2sqrtz)=(1/(2sqrt(-i)))$
ora però non so come trattare la radice. devo prendere solo una radice?
il procedimento comunque è corretto fino a qui?
$I = int_(0)^(oo) dx sqrtx / (x+i)^2$
ho pensato di risolverlo sfruttando il cammino $gamma$ detto "keyhole" (quello che sembra pacman) prendendo come taglio del logaritmo l'asse positivo delle x. si ha una singolarità in $z=-i$ che è un polo di ordine 2. premesso questo l'integrale su $gamma$ diventa (dopo aver promosso x a variabile complessa z):
$int_(0)^(oo) dx sqrtx / (x+i)^2 - int_(0)^(oo) dx (e^(1/2(log|x|+2 pi i))) / (x+i)^2 = (1+i)I$
il contributo dei due semicerchi è nullo per $R->oo ^^ epsilon->0$
lo stesso integrale però è calcolabile con il teorema dei residui percui, provando a calcolare il residuo per un polo di ordine 2 ottengo:
$Res(f(z),-i)=lim_(z->-i)d/(dz)[sqrt(z)]=lim_(z->-i)1/(2sqrtz)=(1/(2sqrt(-i)))$
ora però non so come trattare la radice. devo prendere solo una radice?
il procedimento comunque è corretto fino a qui?
Risposte
Non è necessario scomodare il logaritmo:
$\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz-\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz+\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=2\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz+\int_{C_(r)}f(z)dz$
Inoltre, quando calcoli il residuo, devi prendere la prima determinazione della radice:
$[sqrt(-i)=-sqrt2/2+isqrt2/2]$
$\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz-\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz+\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=2\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz+\int_{C_(r)}f(z)dz$
Inoltre, quando calcoli il residuo, devi prendere la prima determinazione della radice:
$[sqrt(-i)=-sqrt2/2+isqrt2/2]$
ciao e grazie per la risposta 
ma il procedimento che hai seguito tu non è esattamente quello che ho fatto solo sottintendendo il logaritmo?
grazie al tuo calcolo comunque mi sono accorto di un errore: ho valutato $e^(i pi)=i$ invece che -1. di conseguenza la prima parte mi risulta pari a $2I$ che è poi quello che esce a te mandando $r->0 ^^ R->oo$
grazie mille questo non lo sapevo!
non dovrebbe essere $sqrt2 /2 -i sqrt2 / 2$
P.S. ho corretto una parentesi nel primo messaggio all'esponenziale nel secondo integrale.
ma il procedimento che hai seguito tu non è esattamente quello che ho fatto solo sottintendendo il logaritmo?
grazie al tuo calcolo comunque mi sono accorto di un errore: ho valutato $e^(i pi)=i$ invece che -1. di conseguenza la prima parte mi risulta pari a $2I$ che è poi quello che esce a te mandando $r->0 ^^ R->oo$
"anonymous_0b37e9":
Inoltre, quando calcoli il residuo, devi prendere la prima determinazione della radice
grazie mille questo non lo sapevo!
"anonymous_0b37e9":
$[−i−−−√=−2–√2+i2–√2]$
non dovrebbe essere $sqrt2 /2 -i sqrt2 / 2$
P.S. ho corretto una parentesi nel primo messaggio all'esponenziale nel secondo integrale.
Ciao cooper.
Intendevo non appesantire troppo le notazioni. Del resto:
$[f(z)=sqrtz]$
ha solo due determinazioni e si può procedere ricordando che sono opposte.
Libero di farlo. Tuttavia, quando imposti l'integrale:
$\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=-2\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz+\int_{C_(r)}f(z)dz$
hai un cambiamento di segno. Se non ti è chiaro il motivo fammelo sapere.
"cooper":
... ma il procedimento che hai seguito tu non è esattamente quello che ho fatto ...
Intendevo non appesantire troppo le notazioni. Del resto:
$[f(z)=sqrtz]$
ha solo due determinazioni e si può procedere ricordando che sono opposte.
"cooper":
... non dovrebbe essere $sqrt2/2-isqrt2/2$ ...
Libero di farlo. Tuttavia, quando imposti l'integrale:
$\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=$
$=-2\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx+\int_{C_(R)}f(z)dz+\int_{C_(r)}f(z)dz$
hai un cambiamento di segno. Se non ti è chiaro il motivo fammelo sapere.
"anonymous_0b37e9":
Intendevo non appesantire troppo le notazioni.
ah ok scusami! in effetti è più ordinato.
"anonymous_0b37e9":
hai un cambiamento di segno. Se non ti è chiaro il motivo fammelo sapere.
purtroppo no non ho capito il motivo. so che $e^(i pi)=-1$ ma l'altro segno meno da dove deriva?
se ho capito bene gli integrali sono, nell'ordine:
1. percorso di ritorno sull'asse positivo delle x
2. semicerchio grande
3. percorso di andata sull'asse positivo delle x
4. semicerchio piccolo attorno all'origine.
io avrei messo il segno $+$ nel punto 3 ed il $-$ nell'1.
Io sono solito procedere così:
1. Percorso di andata sul semiasse positivo delle x (verso destra)
2. Cerchio grande (in senso antiorario)
3. Percorso di ritorno sul semiasse positivo delle x (verso sinistra)
4. Cerchio piccolo (in senso orario)
Tra l'altro, se vuoi servirti della seguente formula:
$[\int_{\gamma}f(z)dz=2\pii\sumRes[f(z),z_k]]$
la curva chiusa deve essere percorsa in senso antiorario. Quindi, nel caso in esame, $C_R$ deve essere percorsa in senso antiorario e $C_r$ deve essere percorsa in senso orario. Per quanto riguarda i due integrali sull'asse reale:
1. Nella prima impostazione:
$\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx-\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx$
in corrispondenza della parte superiore del taglio (percorso di andata) ho considerato la prima determinazione della radice, quella positiva per intenderci:
$\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx$
e in corrispondenza della parte inferiore del taglio (percorso di ritorno) quella negativa (il segno negativo davanti all'integrale è semplicemente dovuto al verso di percorrenza):
$-\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx$
Ciò significa che, percorrendo la curva intorno al punto di diramazione, il residuo deve essere calcolato considerando la prima determinazione della radice:
$[sqrt(-i)=-sqrt2/2+isqrt2/2]$
Insomma, sei sul 1° foglio di Riemann, dove si considera ovunque la prima determinazione della radice, al netto dell'asse reale dove consideri entrambe nella successione di cui sopra.
2. Nella seconda impostazione:
$\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx$
in corrispondenza della parte superiore del taglio (percorso di andata) ho considerato la seconda determinazione della radice, quella negativa per intenderci:
$\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx$
e in corrispondenza della parte inferiore del taglio (percorso di ritorno) quella positiva:
$-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx$
Ciò significa che, percorrendo la curva intorno al punto di diramazione, il residuo deve essere calcolato considerando la seconda determinazione della radice:
$[sqrt(-i)=sqrt2/2-isqrt2/2]$
Insomma, sei sul 2° foglio di Riemann, dove si considera ovunque la seconda determinazione della radice, al netto dell'asse reale dove consideri entrambe nella successione di cui sopra.
Purtroppo, se non hai ancora assimilato questi contenuti, non escludo che le argomentazioni di cui sopra possano sembrarti poco comprensibili.
1. Percorso di andata sul semiasse positivo delle x (verso destra)
2. Cerchio grande (in senso antiorario)
3. Percorso di ritorno sul semiasse positivo delle x (verso sinistra)
4. Cerchio piccolo (in senso orario)
Tra l'altro, se vuoi servirti della seguente formula:
$[\int_{\gamma}f(z)dz=2\pii\sumRes[f(z),z_k]]$
la curva chiusa deve essere percorsa in senso antiorario. Quindi, nel caso in esame, $C_R$ deve essere percorsa in senso antiorario e $C_r$ deve essere percorsa in senso orario. Per quanto riguarda i due integrali sull'asse reale:
1. Nella prima impostazione:
$\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx-\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx$
in corrispondenza della parte superiore del taglio (percorso di andata) ho considerato la prima determinazione della radice, quella positiva per intenderci:
$\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx$
e in corrispondenza della parte inferiore del taglio (percorso di ritorno) quella negativa (il segno negativo davanti all'integrale è semplicemente dovuto al verso di percorrenza):
$-\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx$
Ciò significa che, percorrendo la curva intorno al punto di diramazione, il residuo deve essere calcolato considerando la prima determinazione della radice:
$[sqrt(-i)=-sqrt2/2+isqrt2/2]$
Insomma, sei sul 1° foglio di Riemann, dove si considera ovunque la prima determinazione della radice, al netto dell'asse reale dove consideri entrambe nella successione di cui sopra.
2. Nella seconda impostazione:
$\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx$
in corrispondenza della parte superiore del taglio (percorso di andata) ho considerato la seconda determinazione della radice, quella negativa per intenderci:
$\int_{r}^{R}(e^(i\pi)sqrtx)/(x+i)^2dx$
e in corrispondenza della parte inferiore del taglio (percorso di ritorno) quella positiva:
$-\int_{r}^{R}sqrtx/(x+i)^2dx$
Ciò significa che, percorrendo la curva intorno al punto di diramazione, il residuo deve essere calcolato considerando la seconda determinazione della radice:
$[sqrt(-i)=sqrt2/2-isqrt2/2]$
Insomma, sei sul 2° foglio di Riemann, dove si considera ovunque la seconda determinazione della radice, al netto dell'asse reale dove consideri entrambe nella successione di cui sopra.
Purtroppo, se non hai ancora assimilato questi contenuti, non escludo che le argomentazioni di cui sopra possano sembrarti poco comprensibili.
premetto che in effetti i fogli di Riemann li abbiamo solo accennati (praticamente abbiamo detto che esistono). quindi credo a questo punto di aver sempre lavorato sul primo foglio. segue quindi il primo procedimento che mi è più congeniale.
detto questo mi sorge il dubbio di sbagliare a calcolare le radici quadrate. io procedo così:
$sqrt(-i)=sqrt(e^(-i pi/2))=e^(-i pi/4)= cos(-pi/4)+i sin(-pi/4) = sqrt2 /2 -i sqrt2 /2$ che però differisce dalla tua.
il tuo risultato lo ottengo se considero $sqrt(-i)=isqrti = i(sqrt2 /2 -i sqrt2 /2)$
pensavo che la "prima determinazione della radice" fosse quella calcolata prendendo $k=0$ nella formula di De Moivre, non è così quindi? oppure sbaglio altro?
considerando comunque il tuo risultato di $sqrt(-i)$ e tenendo conto della prima impostazione continuerei così:
$2 pi i Res(f(z),-i)=(pi i)/(-sqrt2/2+isqrt2/2)*(-sqrt2/2-isqrt2/2)/(-sqrt2/2-isqrt2/2)=sqrt2/2 pi -sqrt2/2 pi i$
quindi l'integrale dato vale: $I=1/2(sqrt2/2 pi -sqrt2/2 pi i)=sqrt2/4 pi (1-i)$
è corretto?
detto questo mi sorge il dubbio di sbagliare a calcolare le radici quadrate. io procedo così:
$sqrt(-i)=sqrt(e^(-i pi/2))=e^(-i pi/4)= cos(-pi/4)+i sin(-pi/4) = sqrt2 /2 -i sqrt2 /2$ che però differisce dalla tua.
il tuo risultato lo ottengo se considero $sqrt(-i)=isqrti = i(sqrt2 /2 -i sqrt2 /2)$
pensavo che la "prima determinazione della radice" fosse quella calcolata prendendo $k=0$ nella formula di De Moivre, non è così quindi? oppure sbaglio altro?
considerando comunque il tuo risultato di $sqrt(-i)$ e tenendo conto della prima impostazione continuerei così:
$2 pi i Res(f(z),-i)=(pi i)/(-sqrt2/2+isqrt2/2)*(-sqrt2/2-isqrt2/2)/(-sqrt2/2-isqrt2/2)=sqrt2/2 pi -sqrt2/2 pi i$
quindi l'integrale dato vale: $I=1/2(sqrt2/2 pi -sqrt2/2 pi i)=sqrt2/4 pi (1-i)$
è corretto?
"cooper":
... pensavo che la "prima determinazione della radice" fosse quella calcolata ...
Immagino che tu stia considerando $[-\pi lt= \theta lt \pi]$. Purtroppo, nello studio di $[f(z)=sqrtz]$ come funzione polidroma, questa scelta corrisponde a operare il taglio lungo il semiasse reale negativo. Per farla breve (mi sembra di capire che questi contenuti, almeno a livello teorico, non siano di importanza fondamentale), visto che tu stesso hai affrontato l'integrale operando il taglio lungo il semiasse reale positivo, sei tenuto a considerare $[0 lt= \theta lt 2\pi]$. Quindi:
$[sqrt(-i)=sqrt(e^(i3/2\pi))=e^(i3/4\pi)=-sqrt2/2+isqrt2/2]$
"cooper":
... è corretto?
Affermativo.
"anonymous_0b37e9":
Immagino che tu stia considerando [−π≤θ<π]. Purtroppo, nello studio di [f(z)=z√] come funzione polidroma, questa scelta corrisponde a operare il taglio lungo il semiasse reale negativo. Per farla breve (mi sembra di capire che questi contenuti, almeno a livello teorico, non siano di importanza fondamentale), visto che tu stesso hai affrontato l'integrale operando il taglio lungo il semiasse reale positivo, sei tenuto a considerare [0≤θ<2π].
ahhhh!! ecco cosa non tornava! grazie infinite per le esaurienti spiegazioni!
quindi quando opero con delle potenze per poter calcolare le derivate è doveroso considerare sempre l'intervallo $(0,2pi]$?oppure vale solo per le funzioni con indice di radice positivo?
"anonymous_0b37e9":
Affermativo.
Perdonami ma, non ho capito da quale atroce dubbio sei stato assalito. 
io negli esercizi ho sempre usato come intervallo $[-pi, pi)$. quando si deve usare per forza l'altro intervallo? solo con la radice quadrata oppure anche in altri casi?
"cooper":
... quando si deve usare per forza l'altro intervallo? Solo con la radice quadrata oppure anche in altri casi?
Quando affronti lo studio di una qualsiasi funzione polidroma, dovendo operare un taglio, l'intervallo ha certamente una sua rilevanza. Non mi sovvengono altri contenuti in cui si rischia di non prestare attenzione a questo aspetto.
perfetto, grazie. ho l'ultimo dubbio...
dato l'integrale: $int_(0)^(oo) x^(3/4)/(x+1)^3 dx$ è possibile che la soluzione sia complessa? io credo di no dato che è un integrale reale.
vorrei però averne la certezza anche perchè quando l'ho risolto mi è venuto un numero complesso (però a questo punto dovrei rifarlo dato che ancora una volta ho sbagliato a considerare l'intervallo).
dato l'integrale: $int_(0)^(oo) x^(3/4)/(x+1)^3 dx$ è possibile che la soluzione sia complessa? io credo di no dato che è un integrale reale.
vorrei però averne la certezza anche perchè quando l'ho risolto mi è venuto un numero complesso (però a questo punto dovrei rifarlo dato che ancora una volta ho sbagliato a considerare l'intervallo).
"cooper":
... è possibile che la soluzione sia complessa? Io credo di no dato che è un integrale reale.
Credi bene.
ottimo, allora devo rifare i conti. grazie ancora!
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