Integrale circolare in campo complesso
Ho di nuovo un problema con un integrale in campo complesso. Anche in questo caso mi viene chiesto di risolverlo applicando la definizione.
$\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz$ con $p(z)=(z-1)^4(z+i)^7$
Inizio calcolando $p'(z)$:
$p'(z)=4(z-1)^3(z+i)^7+7(z-1)^4(z+i)^6$
$p'(z)=(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]$
Ora calcolo l'integrale:
$\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz=$
$=\int_{\abs{z}=R} \frac{(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]}{(z-1)^4(z+i)^7}dz=$
$=\int_{\abs{z}=R} \frac{4(z+i)+7(z-1)}{(z-1)(z+i)}dz=$
$=4\int_{\abs{z}=R} \frac{1}{z-1}dz+7\int_{\abs{z}=R}\frac{1}{z+i}dz=$
A questo punto scrivo $z=Re^{i\theta}$, $dz=iRe^{i\theta}d\theta$
$=4\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}-1}d\theta + 7\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}+i}d\theta =$
$=4[log(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[log(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}=$
$=4[log(R-1)-log(R-1)]+7[log(R+i)-log(R+i)]=$
$=0$
Il risultato dovrebbe essere invece $2\pi i (4+7)=22 \pi i$.
Vi chiedo gentilmente di non proporre procedimenti alternativi. Vorrei sapere come calcolare questo integrale applicando la definizione e soprattutto vorrei capire dove sbaglio. Grazie.
$\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz$ con $p(z)=(z-1)^4(z+i)^7$
Inizio calcolando $p'(z)$:
$p'(z)=4(z-1)^3(z+i)^7+7(z-1)^4(z+i)^6$
$p'(z)=(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]$
Ora calcolo l'integrale:
$\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz=$
$=\int_{\abs{z}=R} \frac{(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]}{(z-1)^4(z+i)^7}dz=$
$=\int_{\abs{z}=R} \frac{4(z+i)+7(z-1)}{(z-1)(z+i)}dz=$
$=4\int_{\abs{z}=R} \frac{1}{z-1}dz+7\int_{\abs{z}=R}\frac{1}{z+i}dz=$
A questo punto scrivo $z=Re^{i\theta}$, $dz=iRe^{i\theta}d\theta$
$=4\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}-1}d\theta + 7\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}+i}d\theta =$
$=4[log(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[log(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}=$
$=4[log(R-1)-log(R-1)]+7[log(R+i)-log(R+i)]=$
$=0$
Il risultato dovrebbe essere invece $2\pi i (4+7)=22 \pi i$.
Vi chiedo gentilmente di non proporre procedimenti alternativi. Vorrei sapere come calcolare questo integrale applicando la definizione e soprattutto vorrei capire dove sbaglio. Grazie.
Risposte
Cos'è $R$?
Se è un parametro libero, il valore dell'integrale dovrebbe dipendere da $R$...
Inoltre, quello è un integrale del tipo del logaritmo su una curva chiusa, quindi dipende dall'indice di avvolgimento. Dunque il risultato proposto dal testo mi pare plausibile.
Se è un parametro libero, il valore dell'integrale dovrebbe dipendere da $R$...
Inoltre, quello è un integrale del tipo del logaritmo su una curva chiusa, quindi dipende dall'indice di avvolgimento. Dunque il risultato proposto dal testo mi pare plausibile.
Ciao federica, noto che è uno dei tuoi primi messaggi pertanto benvenuta nel forum 
Vista l'ora prendi con le pinze quello che ti sto per dire.
In primo luogo presumo che \(R > 1 \), perché altrimenti quell'integrale fa zero, ma non per il motivo che hai detto te ma poiché per ogni \( 0 < \epsilon < 1 \), la funzione \( \frac{p'(z)}{p(z)} \) è olomorfa \( B_{1- \epsilon}(0) \), dove con \(B_{1-\epsilon}(0)\) intendo il disco aperto centrato in \(0\) e di raggio \(R=1-\epsilon \), e chiaramente è semplicemente connesso.
Detto ciò, nell'ipotesi che \(R > 1 \) allora abbiamo il problema principale risiede qui:
Infatti stai usando il logaritmo complesso che non è continuo,
infatti vale
\[ \ln (z) = \ln \left| z \right| + i \arg (z) \]
e generalmente si sceglie \( 0 < \arg(z) \leq 2 \pi \), quindi
\[ \ln \left( R - 1 \right) - \ln \left( R - 1 \right)= \underbrace{\ln \left| Re^{2 \pi i} - 1 \right| - \ln \left| R - 1 \right| }_{=0} + i \left( \arg \left( R - 1 \right) - \arg \left( R - 1 \right) \right) \]
Ora hai una differenza tra argomenti di numeri reali e ti verrebbe da dire
\[ i \left( \arg \left( R- 1 \right) - \arg \left( R - 1 \right) \right) = 0 \]
Però quando fai un integrale curvilineo come questo un numero reale in un certo senso è raggiunto "da sopra" e l'altro "da sotto" quindi in realtà quella differenza vale
\[ i \left( \arg \left( R- 1 \right) - \arg \left( R - 1 \right) \right) = 2 \pi i \]
Lo puoi vedere, se parametrizzi in modo più formale il tuo integrale. Ovvero
\[ \oint_{\left| z \right| = R } \frac{1}{1-z} dz = \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\epsilon}^{2\pi - \epsilon} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}-1}d\theta = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \ln \left( Re^{(2\pi - \epsilon)i} - 1 \right) - \ln \left( R e^{\epsilon i} - 1 \right) \right] \]
vedi subito che in un caso \( \arg \left( Re^{(2\pi - \epsilon)i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 2 \pi \) mentre \( \arg \left( R e^{\epsilon i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 0 \)
In modo analogo per l'altro e quindi ottieni
\[ 4 \cdot (2 \pi i ) + 7 \cdot ( 2 \pi i ) = 22 \pi i \]
Vista l'ora prendi con le pinze quello che ti sto per dire.
"fdeerica":
A questo punto scrivo $ z=Re^{i\theta} $, $ dz=iRe^{i\theta}d\theta $
$ =4\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}-1}d\theta + 7\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}+i}d\theta = $
$ =4[log(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[log(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}= $
$ =4[log(R-1)-log(R-1)]+7[log(R+i)-log(R+i)]= $
$ =0 $
Il risultato dovrebbe essere invece $ 2\pi i (4+7)=22 \pi i $.
Vi chiedo gentilmente di non proporre procedimenti alternativi. Vorrei sapere come calcolare questo integrale applicando la definizione e soprattutto vorrei capire dove sbaglio. Grazie.
In primo luogo presumo che \(R > 1 \), perché altrimenti quell'integrale fa zero, ma non per il motivo che hai detto te ma poiché per ogni \( 0 < \epsilon < 1 \), la funzione \( \frac{p'(z)}{p(z)} \) è olomorfa \( B_{1- \epsilon}(0) \), dove con \(B_{1-\epsilon}(0)\) intendo il disco aperto centrato in \(0\) e di raggio \(R=1-\epsilon \), e chiaramente è semplicemente connesso.
Detto ciò, nell'ipotesi che \(R > 1 \) allora abbiamo il problema principale risiede qui:
$[log(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} = 0$
Infatti stai usando il logaritmo complesso che non è continuo,
infatti vale
\[ \ln (z) = \ln \left| z \right| + i \arg (z) \]
e generalmente si sceglie \( 0 < \arg(z) \leq 2 \pi \), quindi
\[ \ln \left( R - 1 \right) - \ln \left( R - 1 \right)= \underbrace{\ln \left| Re^{2 \pi i} - 1 \right| - \ln \left| R - 1 \right| }_{=0} + i \left( \arg \left( R - 1 \right) - \arg \left( R - 1 \right) \right) \]
Ora hai una differenza tra argomenti di numeri reali e ti verrebbe da dire
\[ i \left( \arg \left( R- 1 \right) - \arg \left( R - 1 \right) \right) = 0 \]
Però quando fai un integrale curvilineo come questo un numero reale in un certo senso è raggiunto "da sopra" e l'altro "da sotto" quindi in realtà quella differenza vale
\[ i \left( \arg \left( R- 1 \right) - \arg \left( R - 1 \right) \right) = 2 \pi i \]
Lo puoi vedere, se parametrizzi in modo più formale il tuo integrale. Ovvero
\[ \oint_{\left| z \right| = R } \frac{1}{1-z} dz = \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\epsilon}^{2\pi - \epsilon} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}-1}d\theta = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \ln \left( Re^{(2\pi - \epsilon)i} - 1 \right) - \ln \left( R e^{\epsilon i} - 1 \right) \right] \]
vedi subito che in un caso \( \arg \left( Re^{(2\pi - \epsilon)i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 2 \pi \) mentre \( \arg \left( R e^{\epsilon i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 0 \)
In modo analogo per l'altro e quindi ottieni
\[ 4 \cdot (2 \pi i ) + 7 \cdot ( 2 \pi i ) = 22 \pi i \]
Intanto 3m0o grazie mille per la disponibilità, sei stato gentilissimo.
Effettivamente mi sono dimenticata di inserire questa informazione:
Adesso ho sicuramente le idee meno confuse ma non capisco ancora delle cose.
Applico la definizione di logaritmo complesso: $ln(z)=ln\abs{z}+i(arg(z)+2k\pi)$
Quindi se non ho capito male dovrei scrivere:
$4[ln(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[ln(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}=$
$4[ln\abs{Re^{i\theta}-1}+i(arg(Re^{i\theta}-1)+2k\pi)]_{0}^{2\pi} + 7[ln\abs{Re^{i\theta}+i}+i(arg(Re^{i\theta}+i)+2k\pi)]_{0}^{2\pi}=$
A questo punto i logaritmi dei moduli si annullano quindi mi rimane:
$4i[arg(Re^{i2\pi}-1)-arg(Re^{i0}-1)] + 7i[arg(Re^{i2\pi}+i)-arg(Re^{i0}+i)]=$
Ora non capisco come arrivare a scrivere:
$4i[2\pi-0] + 7i[2\pi-0]$
Cioè capisco quando dici che:
Ma non capisco perché
Cioè perché
$ arg(Re^{i2\pi}-1)-arg(Re^{i0}-1) = 2 \pi - 0 $
È come se il $-1$ non ci fosse? O forse c'è qualche proprietà degli argomenti che non ricordo?
Effettivamente mi sono dimenticata di inserire questa informazione:
Sia p un polinomio di grado n le cui radici si trovano tutte in $B_R(0)$ con $R>0$
Adesso ho sicuramente le idee meno confuse ma non capisco ancora delle cose.
Applico la definizione di logaritmo complesso: $ln(z)=ln\abs{z}+i(arg(z)+2k\pi)$
Quindi se non ho capito male dovrei scrivere:
$4[ln(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[ln(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}=$
$4[ln\abs{Re^{i\theta}-1}+i(arg(Re^{i\theta}-1)+2k\pi)]_{0}^{2\pi} + 7[ln\abs{Re^{i\theta}+i}+i(arg(Re^{i\theta}+i)+2k\pi)]_{0}^{2\pi}=$
A questo punto i logaritmi dei moduli si annullano quindi mi rimane:
$4i[arg(Re^{i2\pi}-1)-arg(Re^{i0}-1)] + 7i[arg(Re^{i2\pi}+i)-arg(Re^{i0}+i)]=$
Ora non capisco come arrivare a scrivere:
$4i[2\pi-0] + 7i[2\pi-0]$
Cioè capisco quando dici che:
"3m0o":
Quando fai un integrale curvilineo come questo un numero reale in un certo senso è raggiunto "da sopra" e l'altro "da sotto"
Ma non capisco perché
"3m0o":
\( \arg \left( Re^{(2\pi - \epsilon)i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 2 \pi \) mentre \( \arg \left( R e^{\epsilon i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 0 \)
Cioè perché
$ arg(Re^{i2\pi}-1)-arg(Re^{i0}-1) = 2 \pi - 0 $
È come se il $-1$ non ci fosse? O forse c'è qualche proprietà degli argomenti che non ricordo?
Ciao fdeerica,
Pur essendo certo che la risposta che ti interessa te l'ha già data 3m0o, ci tengo a precisare che l'integrale proposto non è altro che un caso particolare del teorema dell'indicatore logaritmico che riporto qui di seguito.
Se $f(z)$ è olomorfa all’interno di una curva $\Gamma$ chiusa, eccezion fatta per un numero finito di punti nei quali $f(z) $ abbia poli e zeri nessuno dei quali cade all'interno o su $\Gamma$, allora si ha:
$\1/(2\pi i) \int_{\Gamma}\frac{f'(z)}{f(z)} \text{d}z = n_z - n_p $
dove $n_z $ è il numero degli zeri, contati con la loro molteplicità, e $n_p$ è il numero dei poli, contati con la loro molteplicità, interni a $\Gamma $. Dunque si ha:
$ \int_{\Gamma}\frac{f'(z)}{f(z)} \text{d}z = 2\pi i(n_z - n_p) $
Nel caso particolare $ f(z) = p(z) = (z-1)^4(z+i)^7$ se il cammino $\Gamma $ è un cerchio $ |z| = R $ di centro l’origine e raggio $R $ sufficientemente grande (basta $R > 1 $) da contenere tutti gli $n_z$ zeri di $p(z)$, dato che $p(z) $ non ha poli semplicemente si ha:
$ \int_{|z| = R > 1}\frac{p'(z)}{p(z)} \text{d}z = 2\pi i n_z = 2\pi i (4 + 7) = 22 \pi i $
Per inciso notare che $n_z = \text{deg}[p(z)] $, che non è altro che il teorema fondamentale dell'algebra.
Pur essendo certo che la risposta che ti interessa te l'ha già data 3m0o, ci tengo a precisare che l'integrale proposto non è altro che un caso particolare del teorema dell'indicatore logaritmico che riporto qui di seguito.
Se $f(z)$ è olomorfa all’interno di una curva $\Gamma$ chiusa, eccezion fatta per un numero finito di punti nei quali $f(z) $ abbia poli e zeri nessuno dei quali cade all'interno o su $\Gamma$, allora si ha:
$\1/(2\pi i) \int_{\Gamma}\frac{f'(z)}{f(z)} \text{d}z = n_z - n_p $
dove $n_z $ è il numero degli zeri, contati con la loro molteplicità, e $n_p$ è il numero dei poli, contati con la loro molteplicità, interni a $\Gamma $. Dunque si ha:
$ \int_{\Gamma}\frac{f'(z)}{f(z)} \text{d}z = 2\pi i(n_z - n_p) $
Nel caso particolare $ f(z) = p(z) = (z-1)^4(z+i)^7$ se il cammino $\Gamma $ è un cerchio $ |z| = R $ di centro l’origine e raggio $R $ sufficientemente grande (basta $R > 1 $) da contenere tutti gli $n_z$ zeri di $p(z)$, dato che $p(z) $ non ha poli semplicemente si ha:
$ \int_{|z| = R > 1}\frac{p'(z)}{p(z)} \text{d}z = 2\pi i n_z = 2\pi i (4 + 7) = 22 \pi i $
Per inciso notare che $n_z = \text{deg}[p(z)] $, che non è altro che il teorema fondamentale dell'algebra.
Aggiungo per completezza, siccome magari te lo stai domandando, che il motivo per cui il ragionamento è fallace se \(0 < R < 1 \) è che altrimenti avremmo che
\( \Re( R e^{i (2 \pi - \epsilon )} - 1 ) \leq 0 \) e \( \Re( R e^{i \epsilon } - 1 ) \leq 0 \) e risulta che
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\epsilon}^{2\pi - \epsilon} \frac{i R e^{i \theta} }{R e^{i \theta} -1 } d\theta = \lim_{\epsilon \to 0} \ln \left( R e^{ i ( 2 \pi - \epsilon)} - 1 \right) - \ln \left( R e^{ i \epsilon} - 1 \right) \]
poiché avresti dei numeri reali negativi gli argomenti tenderebbero rispettivamente
\[ \arg \left( R e^{ i ( 2 \pi - \epsilon)} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} \pi \]
\[ \arg \left( R e^{ i \epsilon} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} \pi \]
e dunque \( i(\pi - \pi) = 0 \).
Questo perché ho scelto \( 0 < \arg(z) \leq 2 \pi \). Ovvero ho scelto di renderlo discontinuo sui reali positivi. Ti puoi legittimamente domandare se la scelta dell'argomento cambia il risultato dell'integrale. La risposta è no.
Se scegliamo \( - \pi < \arg(z) \leq \pi \) (i.e. discontinuo sui negativi) allora la parametrizzazione della curva d'integrazione diventa
\( z = R e^{i \theta} \), con \( \theta \in (-\pi+ \epsilon, \pi- \epsilon] \), da cui
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{-\pi + \epsilon}^{\pi - \epsilon} \frac{i R e^{i \theta} }{R e^{i \theta} -1 } d\theta = \lim_{\epsilon \to 0} \ln \left( R e^{ i ( \pi - \epsilon)} - 1 \right) - \ln \left( R e^{ i (\epsilon- \pi)} - 1 \right) \]
Ora come puoi vedere ciò che cambia è che se \(R > 1 \)
\[ \arg \left( R e^{ i ( \pi - \epsilon)} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} \pi \]
\[ \arg \left( R e^{ i ( \epsilon - \pi )} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} - \pi \]
pertanto ottieni nuovamente
\( i ( \pi - (-\pi))=2\pi i\)
mentre se \(0 < R < 1 \) ottieni
\[ \arg \left( R e^{ i ( \pi - \epsilon)} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} 0 \]
\[ \arg \left( R e^{ i ( \epsilon - \pi )} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} 0 \]
[ot]Noto divertito che questa tua domanda è il tuo terzo messaggio di due
[/ot]
\( \Re( R e^{i (2 \pi - \epsilon )} - 1 ) \leq 0 \) e \( \Re( R e^{i \epsilon } - 1 ) \leq 0 \) e risulta che
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\epsilon}^{2\pi - \epsilon} \frac{i R e^{i \theta} }{R e^{i \theta} -1 } d\theta = \lim_{\epsilon \to 0} \ln \left( R e^{ i ( 2 \pi - \epsilon)} - 1 \right) - \ln \left( R e^{ i \epsilon} - 1 \right) \]
poiché avresti dei numeri reali negativi gli argomenti tenderebbero rispettivamente
\[ \arg \left( R e^{ i ( 2 \pi - \epsilon)} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} \pi \]
\[ \arg \left( R e^{ i \epsilon} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} \pi \]
e dunque \( i(\pi - \pi) = 0 \).
Questo perché ho scelto \( 0 < \arg(z) \leq 2 \pi \). Ovvero ho scelto di renderlo discontinuo sui reali positivi. Ti puoi legittimamente domandare se la scelta dell'argomento cambia il risultato dell'integrale. La risposta è no.
Se scegliamo \( - \pi < \arg(z) \leq \pi \) (i.e. discontinuo sui negativi) allora la parametrizzazione della curva d'integrazione diventa
\( z = R e^{i \theta} \), con \( \theta \in (-\pi+ \epsilon, \pi- \epsilon] \), da cui
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{-\pi + \epsilon}^{\pi - \epsilon} \frac{i R e^{i \theta} }{R e^{i \theta} -1 } d\theta = \lim_{\epsilon \to 0} \ln \left( R e^{ i ( \pi - \epsilon)} - 1 \right) - \ln \left( R e^{ i (\epsilon- \pi)} - 1 \right) \]
Ora come puoi vedere ciò che cambia è che se \(R > 1 \)
\[ \arg \left( R e^{ i ( \pi - \epsilon)} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} \pi \]
\[ \arg \left( R e^{ i ( \epsilon - \pi )} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} - \pi \]
pertanto ottieni nuovamente
\( i ( \pi - (-\pi))=2\pi i\)
mentre se \(0 < R < 1 \) ottieni
\[ \arg \left( R e^{ i ( \pi - \epsilon)} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} 0 \]
\[ \arg \left( R e^{ i ( \epsilon - \pi )} - 1 \right) \xrightarrow{\epsilon \to 0} 0 \]
[ot]Noto divertito che questa tua domanda è il tuo terzo messaggio di due
[/ot]
[ot]Stan ogni tanto "risistemava" il database eliminando queste incongruenze dovute a cancellazioni e simili ...[/ot]
C’era un post in coda di moderazione.
L’ho approvato e lo leggete qui sopra.
L’ho approvato e lo leggete qui sopra.
"fdeerica":
Sia p un polinomio di grado n le cui radici si trovano tutte in $ B_R(0) $ con $ R>0 $
Non ho capito onestamente questa cosa. Il polinomio è esplicito, è di grado conosciuto e le sue radici sono \(1\) e \(-i\)...
"fdeerica":
Ma non capisco perché
[quote="3m0o"]\( \arg \left( Re^{(2\pi - \epsilon)i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 2 \pi \) mentre \( \arg \left( R e^{\epsilon i} - 1 \right) \xrightarrow{ \epsilon \to 0} 0 \)
Cioè perché
$ arg(Re^{i2\pi}-1)-arg(Re^{i0}-1) = 2 \pi - 0 $
È come se il $ -1 $ non ci fosse? O forse c'è qualche proprietà degli argomenti che non ricordo?[/quote]
Il motivo per cui non lo vedi è che ti sei dimenticata dell' \( \epsilon \to 0 \), ed è importante mettere \( \epsilon \) perché la funzione \( \arg \) (come l'ho scelta io) è discontinua sui reali positivi. Vedi un po' se questa immagine ti aiuta:
Se clicchi sull'immagine dovrebbe aprirsi più in grande.
Ho scelto \(R=3\), i \(z_i \) (i punti rossi) sono della forma \( Re^{(2\pi-\epsilon) i} -1 \) mentre i \( \omega_i \) (i punti neri) sono della forma \( Re^{\epsilon i} - 1 \).
Per \( i = 1 \) ho scelto \( \epsilon = 0.04\), per \(i=2\) ho scelto \(\epsilon = 0.02\) e per \( i=3\) ho scelto \(\epsilon = 0.018 \).
come puoi notare man mano che \( \epsilon \) si avvicina a zero abbiamo che \( R e^{(2 \pi - \epsilon)i } - 1 \to R - 1 \) e \( R e^{\epsilon i } - 1 \to R - 1 \). Ma ciò che cambia è "da dove". Quelli neri da "sopra" ovvero l'angolo di \( \arg( R e^{\epsilon i } - 1) \) si avvicina sempre più a zero. Mentre quelli rossi da "sotto" si avvicinano da "sotto" e quindi l'angolo fa un giro sempre più completo e \( \arg ( R e^{(2 \pi - \epsilon)i } - 1 ) \) si avvicina sempre più a \( 2 \pi \). Il \(-1\) influisce sull'angolo, non so quanto valga esattamente l'angolo di quei numeri, non vale \(2\pi - \epsilon \), però il \(-1\) non influisce sul limite perché semplicemente ti sposta la parte reale di \(-1\) quindi il limite resta un numero reale.
Ri-ciao federica, aggiungo una risposta perché l'ho notata solo ora una tua imprecisione.
Questo è sbagliato. In particolare è sbagliato questo:
Questo perché hai parametrizzato il seguente integrale
\[ \oint_{\left|z \right| = R} \frac{1}{z+i} dz \]
con \( z=Re^{i \theta} \), con \( \theta \in [\epsilon, 2\pi - \epsilon] \), con \( \epsilon > 0 \), ma questo è sbagliato. Perché così facendo stai implicitamente prendendo come logaritmo quello definito su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \), ovvero stai definendo l'argomento come \( 0 < \arg(z) \leq 2 \pi \), ma così facendo, nell'integrale la \( z \) a denominatore, che percorre i valori della tua curva \( \left|z \right| = R \), assumerà dei valori tali per cui \(z+i \) è reale positiva, ma tu hai definito l'argomento in modo tale che il logaritmo non è definito sui reali positivi. E questo è problematico per due motivi:
1) Il \(z+i\) è reale positivo per un certo \(z_j \in \partial B_R(0)\) e con \( \arg(z_j)\neq \arg(z_j+i) \). Quindi siccome stai integrando da \(0+ \epsilon \) e \( 2 \pi - \epsilon \) non puoi parametrizzare la curva facendo tendere \( \epsilon \to 0 \), questo perché (vedi il punto 2)
2) Il logaritmo che stai prendendo \( \log( \omega ) \) non è definito per \( \omega \) reale positivo, quindi non è definito per \( z_j \) poiché \( \log(z_j+i) \) è reale positivo, pertanto non puoi percorrere la curva d'integrazione e dunque non puoi prendere come primitiva di \( \frac{1}{z+i} \) il logaritmo così definito.
La soluzione a questo problema è prendere un altro logaritmo, devi scegliere quindi \( \alpha \) (adeguato) e scegliere l'argomento compreso tra \( \alpha < \arg(z) \leq \alpha + 2 \pi \)
Poi parametrizzi l'integrale in questo modo, prendendo \( z=Re^{i \theta} \) con \( \theta \in [\alpha + \epsilon, 2\pi + \alpha - \epsilon] \), e poi prendi il limite con \( \epsilon \to 0 \).
Come fai a capire quale \( \alpha \) scegliere?
Se disegni i due cerchi \( \partial B_{R}(0) \) e \( \partial B_{R}(0) \) traslato di \(i \) verso l'alto, noterai che esistono solo due punti \(z_1 , z_2 \in \partial B_{R}(0) \) tale che \( \arg(z_j ) = \arg(z_j +i )\), con \(j=1,2\) (quali sono questi punti??). Ora perché questo è importante? Perché ti permette di parametrizzare l'integrale in altro modo risolvere il problema che ti dicevo prima con la tecnica 1). Ovvero invece di integrare da \( \epsilon \) a \(2\pi -\epsilon \) integri da \( \arg(z_1) + \epsilon \) e \( 2\pi + \arg(z_1) - \epsilon \) e fai tendere \( \epsilon \to 0 \). Infatti \( z_1 = R e^{\alpha i+2\pi k i} \) puoi scegliere \( \alpha \) oppure \( \alpha + 2 \pi k \), per qualsiasi \(k \in \mathbb{Z} \).
Se preferisci puoi prendere anche \( z_2 \) invece di \(z_1\), ma avrai un altro logaritmo.
In questo modo facendo tendere \( \epsilon \to 0 \) non includi nessun punto in cui il logaritmo non è definito.
E dunque puoi prendere il logaritmo complesso come "primitiva" di \( \frac{1}{z+i} \) perché stai escludendo l'unico punto problematico.
"fdeerica":
$ 4[ln(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[ln(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}= $
$ 4[ln\abs{Re^{i\theta}-1}+i(arg(Re^{i\theta}-1)+2k\pi)]_{0}^{2\pi} + 7[ln\abs{Re^{i\theta}+i}+i(arg(Re^{i\theta}+i)+2k\pi)]_{0}^{2\pi}= $
A questo punto i logaritmi dei moduli si annullano quindi mi rimane:
$ 4i[arg(Re^{i2\pi}-1)-arg(Re^{i0}-1)] + 7i[arg(Re^{i2\pi}+i)-arg(Re^{i0}+i)]= $
Ora non capisco come arrivare a scrivere:
$ 4i[2\pi-0] + 7i[2\pi-0] $
Questo è sbagliato. In particolare è sbagliato questo:
"fdeerica":
$7[ln(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}$
Questo perché hai parametrizzato il seguente integrale
\[ \oint_{\left|z \right| = R} \frac{1}{z+i} dz \]
con \( z=Re^{i \theta} \), con \( \theta \in [\epsilon, 2\pi - \epsilon] \), con \( \epsilon > 0 \), ma questo è sbagliato. Perché così facendo stai implicitamente prendendo come logaritmo quello definito su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \), ovvero stai definendo l'argomento come \( 0 < \arg(z) \leq 2 \pi \), ma così facendo, nell'integrale la \( z \) a denominatore, che percorre i valori della tua curva \( \left|z \right| = R \), assumerà dei valori tali per cui \(z+i \) è reale positiva, ma tu hai definito l'argomento in modo tale che il logaritmo non è definito sui reali positivi. E questo è problematico per due motivi:
1) Il \(z+i\) è reale positivo per un certo \(z_j \in \partial B_R(0)\) e con \( \arg(z_j)\neq \arg(z_j+i) \). Quindi siccome stai integrando da \(0+ \epsilon \) e \( 2 \pi - \epsilon \) non puoi parametrizzare la curva facendo tendere \( \epsilon \to 0 \), questo perché (vedi il punto 2)
2) Il logaritmo che stai prendendo \( \log( \omega ) \) non è definito per \( \omega \) reale positivo, quindi non è definito per \( z_j \) poiché \( \log(z_j+i) \) è reale positivo, pertanto non puoi percorrere la curva d'integrazione e dunque non puoi prendere come primitiva di \( \frac{1}{z+i} \) il logaritmo così definito.
La soluzione a questo problema è prendere un altro logaritmo, devi scegliere quindi \( \alpha \) (adeguato) e scegliere l'argomento compreso tra \( \alpha < \arg(z) \leq \alpha + 2 \pi \)
Poi parametrizzi l'integrale in questo modo, prendendo \( z=Re^{i \theta} \) con \( \theta \in [\alpha + \epsilon, 2\pi + \alpha - \epsilon] \), e poi prendi il limite con \( \epsilon \to 0 \).
Come fai a capire quale \( \alpha \) scegliere?
Se disegni i due cerchi \( \partial B_{R}(0) \) e \( \partial B_{R}(0) \) traslato di \(i \) verso l'alto, noterai che esistono solo due punti \(z_1 , z_2 \in \partial B_{R}(0) \) tale che \( \arg(z_j ) = \arg(z_j +i )\), con \(j=1,2\) (quali sono questi punti??). Ora perché questo è importante? Perché ti permette di parametrizzare l'integrale in altro modo risolvere il problema che ti dicevo prima con la tecnica 1). Ovvero invece di integrare da \( \epsilon \) a \(2\pi -\epsilon \) integri da \( \arg(z_1) + \epsilon \) e \( 2\pi + \arg(z_1) - \epsilon \) e fai tendere \( \epsilon \to 0 \). Infatti \( z_1 = R e^{\alpha i+2\pi k i} \) puoi scegliere \( \alpha \) oppure \( \alpha + 2 \pi k \), per qualsiasi \(k \in \mathbb{Z} \).
Se preferisci puoi prendere anche \( z_2 \) invece di \(z_1\), ma avrai un altro logaritmo.
In questo modo facendo tendere \( \epsilon \to 0 \) non includi nessun punto in cui il logaritmo non è definito.
E dunque puoi prendere il logaritmo complesso come "primitiva" di \( \frac{1}{z+i} \) perché stai escludendo l'unico punto problematico.
"gugo82":
C’era un post in coda di moderazione.
L’ho approvato e lo leggete qui sopra.
È possibile allora che ve ne sia un altro in coda? Siccome ora dice 3 messaggi di 4?
"3m0o":
È possibile allora che ve ne sia un altro in coda? Siccome ora dice 3 messaggi di 4?
No, mi pare tutto regolare adesso.
Colgo l'occasione per riassumere quanto si è ottenuto.
Dato $ p(z) = (z-1)^4(z+i)^7$ ed indicato con $n_z = 4 + 7 = 11 = \text{deg}[p(z)] $ il numero degli zeri ($1$ e $- i$) di $p(z) $ contati con la loro molteplicità ($4 $ per $1$ e $7$ per $-i$), si ha:
$ \int_{|z| = R}\frac{p'(z)}{p(z)} \text{d}z = {(0 \text{ se } 0 < R <= 1),(2\pi i n_z = 22 \pi i \text{ se } R > 1):} $
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