Integrale applicando residui

[saviodp7]

Ciao a tutti mi servirebbe una mano con questo integrale

$int_{-\infty}^{\infty} (sen(2\pix))/(2x^2+x)$

$x_1=0$, $x_2=-1/2$ sono poli semplici

$Res(f(x),x_1)=0$

$Res(f(x),x_2)=0$

Per il lemma di Jordan dovrebbe essere

$int_{-\infty}^{\infty} (sen(2\pix))/(2x^2+x)=2pii(0+1/2*0)=0$

Ma WolframAlpha restituisce come risultato $2\pi$

[ondine1]

trasforma $ sin(2pi*x)/(2x^2+x) $ in funzione complessa,cioè $ (1/(2i)* (e^(i2pi*z)-e^(-i2pi*z)))(1/(2z^2+z)) $
adesso puoi utilizzare il lemma di jordan.
Spezzando l'integrale avrai che,per il primo:
$ int_(-oo)^(+oo) (1/(2i)* e^(i2pi*z))(1/(2z^2+z)) dz = int_(-oo)^(+oo) (1/(2i)* e^(i2pi*z))(1/(2z(z+1/2))) dz = 1/2* (2pi*i)/(2i) * (1-e^(-ipi))= pi/2 *(1-e^-(ipi)) $
hai un $1/2$ a moltiplicare in più pechè i punti singolari sono sul percorso di integrazione.
per l'altro pezzo hai,allo stesso modo
$ int_(-oo)^(+oo) (1/(2i)* e^(-i2pi*z))(1/(2z^2+z)) dz = -pi/2(1-e^(ipi)) $ (il segno meno è per il lemma di Jordan).
quindi in definitiva l'integrale è:
$ pi/2 *(1-e^-(ipi))-(-pi/2(1-e^(ipi)))= pi/2(1-e^(-ipi)+e^(ipi))=
= pi/2 (2 -(cos(pi)-isin(pi))-(cos(pi)+isin(pi))= pi/2(2+1+1)= 2pi $

[saviodp7]

Grazie