Insiemi boreliani
Buongiorno, ho il seguente esercizio:
"Sia $A={(x,y) \in mathbb{R^2}:y>x-7, x^2+y^3≤2}$ è un boreliano."
La prima e unica cosa che mi viene in mente è di mostrare che abbia una forma del tipo (a,b) o [a,b) o [a,b] o (a,b] (ovviamente è in due dimensioni non in una) ma non so né se sia corretto né come farlo
"Sia $A={(x,y) \in mathbb{R^2}:y>x-7, x^2+y^3≤2}$ è un boreliano."
La prima e unica cosa che mi viene in mente è di mostrare che abbia una forma del tipo (a,b) o [a,b) o [a,b] o (a,b] (ovviamente è in due dimensioni non in una) ma non so né se sia corretto né come farlo
Risposte
Da un punto di vista topologico, gli insiemi
\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:y>x-7\}
\]
e
\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:x^2+y^3≤2\}
\]
sono aperti, chiusi, ... ?
\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:y>x-7\}
\]
e
\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:x^2+y^3≤2\}
\]
sono aperti, chiusi, ... ?
@ ludovica_97: Due problemi: sei in $RR^2$ e non in $RR$ (quindi cosa sono gli insiemi $[a,b]$, $(a,b]$, etc…)?
Poi, secondo te sono borelliani solo gli intervalli?
Ricorda cos’è la $sigma$-algebra di Borel e ragiona sul consiglio che ti ha dato Wilde.
Poi, secondo te sono borelliani solo gli intervalli?
Ricorda cos’è la $sigma$-algebra di Borel e ragiona sul consiglio che ti ha dato Wilde.
"Wilde":
Da un punto di vista topologico, gli insiemi
\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:y>x-7\}
\]
e
\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:x^2+y^3≤2\}
\]
sono aperti, chiusi, ... ?
B è aperto e C è chiuso... Questo significa che sono due boreliani e che quindi intersezione di boreliani è ancora boreliana
Ok quindi ho fatto, con la stessa idea anche quest'altro che mi dice che
$A={(x,y) \in mathbb{R^2}: 10, y≥0}$ e $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$
In questo caso spezzo A nei tre insiemi dei quali è intersezione, i primi due sono aperti, il terzo è chiuso, quindi è intersezione di Boreliani ed è Boreliano. Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto. Il problema è che ora mi chiede anche la misura di questi due
$A={(x,y) \in mathbb{R^2}: 1
In questo caso spezzo A nei tre insiemi dei quali è intersezione, i primi due sono aperti, il terzo è chiuso, quindi è intersezione di Boreliani ed è Boreliano. Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto. Il problema è che ora mi chiede anche la misura di questi due
"ludovica_97":
[…] $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$.
[…] Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto.
Stesso errore di prima. Perché?
"ludovica_97":
Il problema è che ora mi chiede anche la misura di questi due
Indovina un po' quale può essere la misura.
Poi dimostralo usando le proprietà della misura di Lebesgue.
P.S.: Hai provato ad accennare un disegno di $A$ e $B$?
Allora ho fatto un disegno di A e dovrei esserci, la misura dovrebbe essere l'area del quadrilatero che mi viene fuori e quindi dovrebbe essere $\frac{3}{8}$.
Per B invece non saprei come procedere. Dal tuo ultimo messaggio sembrerebbe che è anche sbagliato dire che è Boreliano (?)
Per B invece non saprei come procedere. Dal tuo ultimo messaggio sembrerebbe che è anche sbagliato dire che è Boreliano (?)
Non è sbagliato cosa scrivi, ma la giustificazione che dai del fatto.
Non sto capendo. Quale dovrebbe essere la giustificazione corretta?
"ludovica_97":
Non sto capendo.
Scusa, ma $QQ$ ti sembra un borelliano di $RR^2$?
Quale dovrebbe essere la giustificazione corretta?
Insomma, prima di capire quale sia la giustificazione corretta, assicurati di aver capito perché quella scritta sopra è sbagliata…
Per me ogni elemento di $\mathbb{Q}$ si può scrivere come intersezione di insiemi aperti che sono boreliani. Perciò dicevo che era un Boreliano... Evidentemente c'è qualcosa che non va ma non riesco a capire cos'è
Stai lavorando in $RR^2$, nel piano insomma, e stai dicendo che $QQ sub RR^2$.
Ma $QQ sub RR$, o no?
Ma $QQ sub RR$, o no?
No io mi sto concentrando solo su $\mathbb{Q}$ che sta su $\mathbb{R}$ perché la condizione è imposta solamente su x
Ancora peggio… Stai dicendo che $B sub RR^2$ è l’intersezione di insiemi $A$ e $QQ$ che vivono in spazi differenti ($A sub RR^2$ e $QQ sub RR$). 
Ma nooo. x sta in $\mathbb{Q}$.
Forse non sto riuscendo a spiegarmi bene.... Li dentro ci sono elementi della forma $(x,y)$ con x in $\mathbb{Q}$ e y che hanno le condizioni imposte su A. Io mi sto concentrando un attimo su come è fatta "sulla parte delle x".
Comunque credo di aver capito quanto vale la misura, tranquillo
Forse non sto riuscendo a spiegarmi bene.... Li dentro ci sono elementi della forma $(x,y)$ con x in $\mathbb{Q}$ e y che hanno le condizioni imposte su A. Io mi sto concentrando un attimo su come è fatta "sulla parte delle x".
Comunque credo di aver capito quanto vale la misura, tranquillo
Ho capito, fortunatamente il testo l'ho letto con attenzione… Così come ho letto questo tuo post:
in cui affermi esattamente quello che ho scritto sopra.
L'insieme $B$ si ottiene sì come intersezione, ma di $A$ e di $QQ xx RR$ (entrambi contenuti in $RR^2$).
Ora, $A$ è borelliano ed abbiamo capito perché; ma $QQ xx RR$? Perché è un borelliano?
Ed in più, che misura di Lebesgue ha?
"ludovica_97":
[…] $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$.
[…] Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto.
in cui affermi esattamente quello che ho scritto sopra.
L'insieme $B$ si ottiene sì come intersezione, ma di $A$ e di $QQ xx RR$ (entrambi contenuti in $RR^2$).
Ora, $A$ è borelliano ed abbiamo capito perché; ma $QQ xx RR$? Perché è un borelliano?
Ed in più, che misura di Lebesgue ha?
"gugo82":
Ho capito, fortunatamente il testo l'ho letto con attenzione… Così come ho letto questo tuo post:
[quote="ludovica_97"][…] $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$.
[…] Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto.
in cui affermi esattamente quello che ho scritto sopra.
L'insieme $B$ si ottiene sì come intersezione, ma di $A$ e di $QQ xx RR$ (entrambi contenuti in $RR^2$).
Ora, $A$ è borelliano ed abbiamo capito perché; ma $QQ xx RR$? Perché è un borelliano?
Ed in più, che misura di Lebesgue ha?[/quote]
Basta mostrare che $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono boreliani. Allora per $\mathbb{R}$ non ci sono problemi. $\mathbb{Q}$ è un sottoinsieme numerabile di $\mathbb{R}$ quindi è possibile scriverlo come unione numerabile dei suoi punti che altro non sono che dei chiusi. Perciò, scrivendosi come unione numerabile di chiusi, $\mathbb{Q}$ è un boreliano. La sua misura di Lebesgue è nulla, vale zero
Assafà… 
E perché la misura di Lebesgue di $QQ xx RR$ è nulla?
E perché la misura di Lebesgue di $QQ xx RR$ è nulla?
Non riesco a formalizzarlo in maniera precisa. La prima idea che mi viene in mente è quella di dire che si può interpretare $\mathbb{Q} x \mathbb{R}$ come l'unione su $\mathbb{Q}$ di elementi della forma ${q}x \mathbb{R}$ queste hanno misura nulla perché si possono vedere come il grafico della funzione $x=q$ e il grafico di una funzione ha misura nulla
L'osservazione sul grafico è esatta, anche si si tratta di un grafico "capovolto", i.e. di una funzione di $y$.
Dato che mi piace fare le cose con le mani, però, osserva che scelte le due successioni come detto sopra, fissato $m$ hai:
$\{ r\} xx [-l_m,l_m] sube [r-delta_n,r+delta_n] xx [-l_m,l_m]$
e dunque $0<=m_e(\{ r\} xx [-l_m,l_m]) <= 2delta_n*l_m$ per ogni $n\in NN$, sicché $m_e(\{ r\} xx [-l_m,l_m])=0$; ciò comporta che ogni sottoinsieme $\{ r\} xx [-l_m,l_m] sub L_r$ è misurabile secondo Lebesgue (perché?) ed ha misura nulla.
D'altra parte, però, i sottoinsiemi $\{ r\} xx [-l_m,l_m]$ formano una successione crescente rispetto all'inclusione che ha per unione tutto $L$ (perché?), quindi $L_r$ è misurabile e $m(L_r) = "sup" m(\{ r\} xx [-l_m,l_m])$ (perché?) $=0$.
Infine, dato che $QQ xx RR = uu_(r in QQ) L_r$ (con unione disgiunta e numerabile) hai che $QQ xx RR$ è misurabile e la sua misura si calcola $m(QQ xx RR) = sum_{r in QQ} m(L_r)$ (perché?) $=0$.
Dato che mi piace fare le cose con le mani, però, osserva che scelte le due successioni come detto sopra, fissato $m$ hai:
$\{ r\} xx [-l_m,l_m] sube [r-delta_n,r+delta_n] xx [-l_m,l_m]$
e dunque $0<=m_e(\{ r\} xx [-l_m,l_m]) <= 2delta_n*l_m$ per ogni $n\in NN$, sicché $m_e(\{ r\} xx [-l_m,l_m])=0$; ciò comporta che ogni sottoinsieme $\{ r\} xx [-l_m,l_m] sub L_r$ è misurabile secondo Lebesgue (perché?) ed ha misura nulla.
D'altra parte, però, i sottoinsiemi $\{ r\} xx [-l_m,l_m]$ formano una successione crescente rispetto all'inclusione che ha per unione tutto $L$ (perché?), quindi $L_r$ è misurabile e $m(L_r) = "sup" m(\{ r\} xx [-l_m,l_m])$ (perché?) $=0$.
Infine, dato che $QQ xx RR = uu_(r in QQ) L_r$ (con unione disgiunta e numerabile) hai che $QQ xx RR$ è misurabile e la sua misura si calcola $m(QQ xx RR) = sum_{r in QQ} m(L_r)$ (perché?) $=0$.
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