Insieme semplicemente connesso?

[FF71]

Ciao a tutti vorrei capire perchè questo insieme:
\[
\mathbb{C} \setminus \{ z=x+i y \in \mathbb{C}:\ - |x| \leq y \leq |x|,\ xy = 1/2 \}\; .
\]
è semplicemente connesso.

[gugo82]

Fai un disegno e controlla.

[FF71]

"gugo82":Fai un disegno e controlla.

L'ho fatto e fondamentalmente escono due rami di iperbole e una X in corrispondenza delle bisettrici...Si possono considerare queste curve dei "buchi" per l'insieme?

[gugo82]

L’insieme da considerare è il piano privato dei due rami d’iperbole di equazione $y=1/(2x)$ che giacciono negli angoli opposti al vertice compresi tra le bisettrici dei quadranti e contenenti l’asse $x$.
[asvg]axes("","");
strokewidth = 2; stroke = "red";
plot("1/(2x)", 0.707, 6);
plot("1/(2x)", -6, -0.707);
dot([0.707,0.707]); dot([-0.707, -0.707]);[/asvg]
Che questo sia un insieme semplicemente connesso è ovvio, perché le curve chiuse contenute in tale insieme delimitano regioni tutte contenute nell’insieme (i.e., sono omotope ad un punto dell’insieme).

[FF71]

OK, grazie. Ma il mio dubbio è: se io prendessi delle curve curve chiuse che passano attraverso quei rami di iperbole...E' lecito al fine di verificare che l'insieme sia sempl. connesso? Perchè da quanto ho capito non lo è! Però vorrei capire perchè.
(Sono uno studente magistrale di ing. meccanica, per me queste cose sono abbastanza astratte, chiedo venia e ti ringrazio per la disponibilità)

[gugo82]

Perché? Le curve che attraversano la frontiera dell’insieme ti sembrano tutte (cioè interamente) contenute in esso?

[FF71]

"gugo82":Perché? Le curve che attraversano la frontiera dell’insieme ti sembrano tutte (cioè interamente) contenute in esso?

Ok, ho capito che intendi, per dimostrare che non sia semplicemente connesso dovrebbe esserci una curva chiusa che stia tutta contenuta fuori dal dominio...Tipo le corone circolari che hanno appunto un buco in mezzo al dominio. Cioè fondamentalmente gli insiemi non semplicemente connessi sono quelli dove c'è una zona esclusa con area diversa da 0 ? Però il caso di C* come mai fa eccezione? Perchè quello 0 escluso può essere considerato come un'area degenere?

[gugo82]

No, non hai capito affatto.
Vatti a rivedere la definizione di aperto semplicemente connesso.

[vict85]

Vorrei farti notare che gli archi sono banalmente insiemi connessi. Quindi, può un arco unire due componenti connesse di un insieme?

[FF71]

"gugo82":Perché? Le curve che attraversano la frontiera dell’insieme ti sembrano tutte (cioè interamente) contenute in esso?

ho ragionato sulla definizione di aperto semplicemente connesso e quindi effettivamente non possono prendere delle curve che transitano per quelle iperboli, perchè le curve con cui devo fare la verifica devono essere interamente contenute nell'insieme. Corretto?

[FF71]

"vict85":Vorrei farti notare che gli archi sono banalmente insiemi connessi. Quindi, può un arco unire due componenti connesse di un insieme?

Su questo non saprei risponderti...purtroppo a ingegneria ci fanno fare questi esami con riferimenti di topologia sintentizzati in una pagina.

[vict85]

La risposta alla mia domanda è no. Insomma, ogni sottoinsieme connesso è un sottoinsieme di una qualche componente connessa. In particolare, Il gruppo fondamentale in un punto ti fornisce informazioni solo sulla componente connessa che contiene quel punto. Quindi, un insieme è semplicemente connesso se lo è ogni sua componente connessa.

[FF71]

"vict85":La risposta alla mia domanda è no. Insomma, ogni sottoinsieme connesso è un sottoinsieme di una qualche componente connessa. In particolare, Il gruppo fondamentale in un punto ti fornisce informazioni solo sulla componente connessa che contiene quel punto. Quindi, un insieme è semplicemente connesso se lo è ogni sua componente connessa.

ok, grazie