Informazioni varie sull'operatore ellittico [PDE]
Ciao a tutti,
stavo studiando un pò di materiale sulla risoluzione delle PDE. Rimanendo nel campo delle funzioni a due variabili e limitando la trattazione alle equazioni del secondo ordine lineari o debolmente lineari, devo dire che c'è stata una carenza di informazioni quando è entrato in ballo l'operatore ellittico $ A(u(x,y)) = - sum_(i,j = 1)^(n) (partial)/(partial x_i) ((partial(u(x,y)))/(partial x_i)) +a_0(x) $ .
In particolare non ho ben capito cosa si possa dire sui problemi di Dirichlet, di Neumann e di tipo misto quando l'operatore ellittico soddisfa le condizioni di ellitticità. Mi piacerebbe sapere se esiste un teorema che coinvolge l'operatore ellittico e il soddisfacimento delle condizioni di ellitticità, se esiste una sua dimostrazione comprensibile ai comuni mortali, vanno benissimo anche indicazioni su materiale vario, purchè non mi ritrovi a dover mandar giù un mattone
Una vostra spiegazione sarebbe ancora migliore. L'argomento è stato trattato molto rapidamente nel materiale che sto studiando, per questo mi ritrovo disorientato e con poche informazioni a riguardo. 
stavo studiando un pò di materiale sulla risoluzione delle PDE. Rimanendo nel campo delle funzioni a due variabili e limitando la trattazione alle equazioni del secondo ordine lineari o debolmente lineari, devo dire che c'è stata una carenza di informazioni quando è entrato in ballo l'operatore ellittico $ A(u(x,y)) = - sum_(i,j = 1)^(n) (partial)/(partial x_i) ((partial(u(x,y)))/(partial x_i)) +a_0(x) $ .
In particolare non ho ben capito cosa si possa dire sui problemi di Dirichlet, di Neumann e di tipo misto quando l'operatore ellittico soddisfa le condizioni di ellitticità. Mi piacerebbe sapere se esiste un teorema che coinvolge l'operatore ellittico e il soddisfacimento delle condizioni di ellitticità, se esiste una sua dimostrazione comprensibile ai comuni mortali, vanno benissimo anche indicazioni su materiale vario, purchè non mi ritrovi a dover mandar giù un mattone
Una vostra spiegazione sarebbe ancora migliore. L'argomento è stato trattato molto rapidamente nel materiale che sto studiando, per questo mi ritrovo disorientato e con poche informazioni a riguardo.
Risposte
Un modo di procedere all'analisi di questo operatore è tramite la formulazione variazionale, passando per il teorema di Lax-Milgram. Si prova che sotto condizioni abbastanza generali esiste un'unica soluzione per tutti e tre i problemi, e che con abbastanza regolarità la soluzione è anche una soluzione classica.
Come bibliografia ti posso indicare Salsa - Equazioni a derivate parziali.
Come bibliografia ti posso indicare Salsa - Equazioni a derivate parziali.
Quel tipo di operatori si chiamano "di Schrödinger" e il termine \(a_0\) (che in genere si scrive \(V\) ) si chiama "potenziale". Infatti puoi scrivere \(A=-\Delta + a_0\). Per il punto di vista "ellittico", l'enciclopedia è Gilbarg - Trudinger. Ma qui hai anche un punto di vista della meccanica quantistica, come puoi trovare per esempio qui (il libro si può scaricare liberamente), oppure su "Analysis" di Lieb & Loss.
"Raptorista":
Si prova che sotto condizioni abbastanza generali esiste un'unica soluzione per tutti e tre i problemi, e che con abbastanza regolarità la soluzione è anche una soluzione classica.
Questi risultati vanno sotto qualche teorema ?
"Raptorista":
Come bibliografia ti posso indicare Salsa - Equazioni a derivate parziali.
Credo di riuscire a procurarmelo. Dovrei avere accesso anche a "Modellistica numerica per problemi differenziali" , di A. Quarteroni, che ne pensi ?
"dissonance":
Per il punto di vista "ellittico", l'enciclopedia è Gilbarg - Trudinger. Ma qui hai anche un punto di vista della meccanica quantistica, come puoi trovare per esempio qui (il libro si può scaricare liberamente), oppure su "Analysis" di Lieb & Loss.
Preferirei leggere una trattazione puramente matematica, anche se devo dire che il libro mi incuriosiva e ho provato a scaricarlo, ma si paga ! Ora devo vedere se riesco ad accedere al Gilbarg - Trudinger. Ma ho paura di riempirmi di materiale, per questo vi chiedevo consiglio, magari qualche magica dispensa che tratti il problema in maniera efficace. Mi è già capitato di rimanere sepolto nei libri, i giorni volano via e il tempo non è infinito purtroppo. Vi ringrazio per le risposte!
https://math.stackexchange.com/q/617625/8157
Purtroppo rimanere sepolto è inevitabile. Il materiale è sconfinato e occorrono anni per capire bene queste cose. Il Gilbarg Trudinger è una specie di enciclopedia ed il riferimento standard sulle equazioni ellittiche, quindi procurarselo è una buona idea. Ma non è da leggere! È da consultare.
Procurati pure il libro di Evans, che spiega queste cose in modo molto didattico, cerca intorno a Lax-Milgram. Infine, cerca di renderti conto che ci sono vari approcci per lo stesso problema. Questi libri di cui abbiamo parlato in questo post sono quelli di "teoria ellittica teorica". Salsa e Quarteroni hanno un occhio alle applicazioni e ai calcoli "veri". Poi c'è il punto di vista della meccanica quantistica che è anche più vicino alla matematica "delle oscillazioni", gente che fa colazione con le trasformate di Fourier. Tenere sempre a mente queste informazioni ti serve da faro mentre ti avventuri nell'oceano della letteratura.
(Comunque il libro di Teschl dovrebbe essere disponibile sul sito. Vedi qua. Ma in questo campo il riferimento classico è Lieb & Loss, quello è un altro riferimento standard che ti può convenire tenere, *per consultazione*).
Purtroppo rimanere sepolto è inevitabile. Il materiale è sconfinato e occorrono anni per capire bene queste cose. Il Gilbarg Trudinger è una specie di enciclopedia ed il riferimento standard sulle equazioni ellittiche, quindi procurarselo è una buona idea. Ma non è da leggere! È da consultare.
Procurati pure il libro di Evans, che spiega queste cose in modo molto didattico, cerca intorno a Lax-Milgram. Infine, cerca di renderti conto che ci sono vari approcci per lo stesso problema. Questi libri di cui abbiamo parlato in questo post sono quelli di "teoria ellittica teorica". Salsa e Quarteroni hanno un occhio alle applicazioni e ai calcoli "veri". Poi c'è il punto di vista della meccanica quantistica che è anche più vicino alla matematica "delle oscillazioni", gente che fa colazione con le trasformate di Fourier. Tenere sempre a mente queste informazioni ti serve da faro mentre ti avventuri nell'oceano della letteratura.
(Comunque il libro di Teschl dovrebbe essere disponibile sul sito. Vedi qua. Ma in questo campo il riferimento classico è Lieb & Loss, quello è un altro riferimento standard che ti può convenire tenere, *per consultazione*).
Ti ringrazio tantissimo per i consigli. Purtroppo il mio desiderio di una dispensa veloce e concentrata sui miei dubbi mi rendo conto che sia un'esagerazione e una sottovalutazione del problema. Penso che, dopo essermi procurato il libro che mi hai consigliato (dall'ultimo link è permesso il download ), andrò avanti e inizierò a trattare il problema di Sturm-Liouville. Tornerò a cercare materiale sull'operatore ellittico in caso mi serva più avanti o alla fine, se avanzerà del tempo. Non voglio affondare nell'oceano della matematica ma navigarci 
), andrò avanti e inizierò a trattare il problema di Sturm-Liouville. Tornerò a cercare materiale sull'operatore ellittico in caso mi serva più avanti o alla fine, se avanzerà del tempo. Non voglio affondare nell'oceano della matematica ma navigarci
Il libro di Quarteroni non è di analisi, è di numerica. Lì trovi solo un breve accenno a Lax-Milgram ma la teoria passo passo è su Evans, Salsa o altri libri di analisi.
Una lettura interessante, ancorché di base, è il capitolo sulle PDE del secondo ordine del Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs.
L'operatore tipo è proprio $-Delta+c$ (cioè laplaciano più potenziale) ed i problemi relativi a tale operatore (Dirichlet, Neumann ed autovalori) sono risolti basandosi sulla teoria degli spazi di Hilbert (i.e., sui risultati classici di Lax-Milgram e Stampacchia).
La lettura è davvero agevole ed il testo si può scaricare dal web.
P.S.: Il Gilbarg-Trudinger lascialo perdere.
L'operatore tipo è proprio $-Delta+c$ (cioè laplaciano più potenziale) ed i problemi relativi a tale operatore (Dirichlet, Neumann ed autovalori) sono risolti basandosi sulla teoria degli spazi di Hilbert (i.e., sui risultati classici di Lax-Milgram e Stampacchia).
La lettura è davvero agevole ed il testo si può scaricare dal web.
P.S.: Il Gilbarg-Trudinger lascialo perdere.
Tanta, tanta roba. Grazie a tutti. L'Evans mi pare famoso, e il Brezis mi sembra abbastanza compatto nell'esposizione, ma non saprei, non vorrei dire fesserie, ho letto solo qualche definizione che conoscevo già , ma è un libro immenso, per me. Per ora tanto sto ripassando un po' di proprietà degli spazi di Hilbert (è passato tanto tempo) e l'integrazione secondo Lebesgue (l'avevo fatta molto superficialmente). Ci vediamo sul forum !
Il Brezis è sicuramente molto più stringato dell’Evans ma è molto più adatto alla scuola italiana di analisi matematica.
Grazie mille per l'informazione. Ora mi hai incuriosito, quale sarebbe il taglio della scuola italiana di analisi matematica (riferito alle PDE, per rimanere in tema) ? In che senso l'Evans ci si avvicina di più ?
E' il Brezis che si avvicina di piu', non l'Evans. Il Brezis "vecchio", cioe' analisi funzionale e applicazioni (che non e' quello che ti han citato), e' stato per tanti anni, e lo e' ancora, il testo di riferimento del corso di istituzioni di analisi superiore nei corsi di laurea in matematica italiani. Il punto e' che Brezis ha lavorato molto con Lions (padre) e Magenes e questi tre personaggi, assieme anche con altri illustri italiani come Stampacchia, han fondato la moderna scuola italo-francese di equazioni alle derivate parziali.
Si, intendevo il Brezis. Ti ringrazio per le informazioni.
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