Impariamo insieme la disuguaglianza di Prékopa-Leindler

otta96
Stavo leggendo un articolo in cui compare questa disuguaglianza che è importante in alcuni settori dell'analisi e non ne capisco un passaggio, però mi sembrava una buona scusa per diffondere la conoscenza di questa disuguaglianza, dato che la dimostrazione è abbastanza "elementare" (da cui il titolo).
Allora la disuguaglianza dice la seguente cosa:
Siano $0<\lambda<1$, $f,g,h\in L^1(RR^n)$ non negative che soddisfano $h((1-\lambda)x+\lambda y)>=f(x)^(1-\lambda)g(y)^\lambda AAx,y\inRR^n$.
Allora $\int_(RR^n)h(x)dx>=(\int_(RR^n)f(x)dx)^(1-\lambda)(\int_(RR^n)g(x)dx)^\lambda$.

La dimostrazione la fa nel caso $n=1$ e dice che per $n$ generico si fa per induzione ma non c'è nell''articolo.
Possiamo chiaramente $\int_RRf(x)dx=F>0$ e $\int_RRg(x)dx=G>0$. Definiamo $u,v:(0,1)->RR$ tali che $AAt\in(0,1)$ $u(t)$ e $v(t)$ siano il minimo numero tale che $1/F\int_(-\infty)^(u(t))f(x)dx=1/G\int_(-\infty)^(v(t))g(x)dx=t$. Si osserva che $u,v$ sono funzioni strettamente crescenti, quindi differenziabili quasi ovunque e si considera $w(t)=(1-\lambda)u(t)+\lambda v(t)$.
Derivando l'espressione che definisce $u$ e $v$ si ha $(f(u(t))u'(t))/F=(g(v(t))v'(t))/G=1$.
Dalla disuguaglianza aritmetico-geometrica si ha, per $f(u(t))g(v(t))!=0$, $w'(t)=(1-\lambda)u'(t)+\lambda v'(t)>=u'(t)^(1-\lambda)v'(t)^\lambda=(F/f(u(t)))^(1-\lambda)(G/g(v(t)))^lambda$ quasi ovunque.
Dunque $\int_RRh(x)dx>=\int_0^1h(w(t))w'(t)dt>=\int_0^1f(u(t))^(1-\lambda)g(v(t))v'(t)^\lambda(F/f(u(t)))^(1-\lambda)(G/g(v(t)))^lambdadt=F^(1-\lambda)G^\lambda$, che è la tesi.
Quello che io non ho capito è il passaggio $\int_RRh(x)dx>=\int_0^1h(w(t))w'(t)dt$, vedo che è una specie di cambio di variabile però un po' strano e non capisco perchè ci sia il $>=$ (e non ad esempio l'$=$), qualcuno me lo può spiegare?
Se può essere utile ho notato che anche $w$ è strettamente crescente, ma non è (in generale) suriettiva.
Comunque prima dicevo che questa disuguaglianza è importante, infatti una delle cose a cui può servire è dimostrare la disuguaglianza di Brunn-Minkowsky, che è a sua volta importante.
Inoltre, come curiosità, ha una struttura che ricorda un po' la disuguaglianza di Holder ma con verso invertito.

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
In effetti è un cambio di variabili, anche se in genere uno vorrebbe che $w$ sia differenziabile ovunque.

Pero' in generale se \((X, \mathcal{M}, \mu)\) è uno spazio di misura, \( (Y, \mathcal{N})\) uno spazio misurabile e $\phi : X \to Y $ una mappa misurabile e suriettiva si può definire la misura immagine \( \mu \phi^{\leftarrow} : \mathcal{N} \to [0,\infty]\) come \(\mu \phi^{\leftarrow} (A) :=\mu(\phi^{\leftarrow} (A))\) da cui $$ \int_Y f \, d \mu \phi^{\leftarrow} = \int_X f \circ \phi \, d \mu $$per ogni funzione misurabile positiva $f$.

Nel tuo caso \(w( (0,1) ) \subseteq \mathbb{R}\) donde \((0,1) \subseteq w^{\leftarrow}(w( (0,1) )) \subseteq w^{\leftarrow}(\mathbb{R}) \); inoltre per \( \mu = w' \mathcal{L}\) (ove \(\mathcal{L}\) è la misura di Lebesgue) dovrebbe essere (penso sia vero, controlla i dettagli) \(\mu w^{\leftarrow} = \mathcal{L}\). Quindi \[ \int_\mathbb{R} h(x) \, d \mathcal{L} (x) = \int_{w^{\leftarrow}(\mathbb{R})} (h \circ w)(x) \, w'(x) d \mathcal{L} (x) \ge \int_{(0,1)} (h \circ w)(x) \, w'(x) d \mathcal{L} (x) \]perché \( w' \ge 0\).

otta96
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
\[ \int_\mathbb{R} h(x) \, d \mathcal{L} (x) = \int_{w^{\leftarrow}(\mathbb{R})} (h \circ w)(x) \, w'(x) d \mathcal{L} (x)

Ma dato che $w^{\leftarrow}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$, la disuguaglianza "incriminata" non sarebbe un'uguaglianza? Questo sto cercando di capire. Pensi che nell'articolo abbia messo il $>=$ perchè tanto se è uguale è anche maggiore o uguale? Se fosse così, non la sopporterei come cosa secondo me queste cose andrebbero evitate perchè poi uno leggendo $>=$ pensa che ci sia perchè non si possa mettere l'$=$ e si arrovella invano.
P.S. Ma tu la conoscevi già questa disuguaglianza?

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"otta96":
Ma dato che $w^{\leftarrow}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$, la disuguaglianza "incriminata" non sarebbe un'uguaglianza? Questo sto cercando di capire. Pensi che nell'articolo abbia messo il $>=$ perchè tanto se è uguale è anche maggiore o uguale? Se fosse così, non la sopporterei come cosa secondo me queste cose andrebbero evitate perchè poi uno leggendo $>=$ pensa che ci sia perchè non si possa mettere l'$=$ e si arrovella invano.
P.S. Ma tu la conoscevi già questa disuguaglianza?

No, conosc(ev)o Brunn-Minkowski di sfuggita. Comunque al momento anche a me sembra che valga l'uguaglianza. Per curiosità ho dato un'occhiata in giro e sia Tao che altri tizi la dimostrano in maniera diversa, senza nemmeno assumere che \(f\) e \(g\) siano \(L^1\)...

gugo82
Il punto di quella disuguaglianza è che il TFCI ed il cambiamento di variabile non valgono per funzioni derivabili q.o.
Ad esempio, prendi come $w$ la funzione di Vitali su $[0,1]$, che è strettamente crescente, ha $w(0)=0$ e $w(1) =1$ ma $w^\prime (x)=0$ q.o. in $[0,1]$; se tutto funzionasse come al solito dovresti avere:

$0= int_0^1 w^\prime(x)\ "d" x = int_(w(0))^(w(1)) "d"x = w(1) - w(0) =1$...

Un po' strano, ne? :wink:

Questo stesso esempio mostra che il $<=$ è necessario tra secondo e terzo membro.

Affinché tutto valga come al solito, se non vado errato, c'è bisogno che la funzione che definisce il cambiamento di variabile sia $AC$.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"gugo82":
[...] Affinché tutto valga come al solito, se non vado errato, c'è bisogno che la funzione che definisce il cambiamento di variabile sia $AC$.

Si', in effetti la prima uguaglianza di questo
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[...] \[ \int_\mathbb{R} h(x) \, d \mathcal{L} (x) = \int_{w^{\leftarrow}(\mathbb{R})} (h \circ w)(x) \, w'(x) d \mathcal{L} (x) \ge \int_{(0,1)} (h \circ w)(x) \, w'(x) d \mathcal{L} (x) \]perché \( w' \ge 0\).

vale soltanto se \(w\) è AC; nel caso di OP \(w\) è "solo" strettamente crescente - questo mi ero perso (sarebbe AC se l'insieme dei suoi punti di non differenziabilità fosse al più numerabile, ma qui non è granché interessante...)

otta96
@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 Pure nell'articolo viene detto che ci sono altri modi di dimostrarla, tra le altre cose.

@gugo82 Mi era venuto in mente che poteva avere qualcosa a che fare $VL$/$AC$. Quindi il $>=$ che mi interessa a me non è un $=$ perchè il cambio di variabile è "solo" $VL$ e non $AC$, giusto?

gugo82
Non $VL$, please, ma $BV$... :wink:

E comunque sì.

otta96
Grazie gugo e 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 dell'aiuto.

"gugo82":
la funzione di Vitali

Forse intendevi di Cantor :wink:

dissonance
C'è un articolo, un super classico, di Gardner, che mi ero ripromesso di leggere anni fa ma non sono mai arrivato oltre le prime pagine;

https://www.ams.org/journals/bull/2002- ... 2-00941-2/

Prekopa-Leindler è l'equazione (21). Forse interessa qualcuno.

otta96
È esattamente l'articolo che ho letto e da cui viene quella dimostrazione :D

dissonance
[ot]
Grande! Questa roba sembra piuttosto "hot", sicuramente interessa Figalli e la sua corte. Ho visto un talk due settimane fa. Invece Brascamp-Lieb, che è collegata ma non saprei dire perché, va alla grande in UK. [\ot]

gugo82
"otta96":
Grazie gugo e 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 dell'aiuto.

Prego, per quel che ancora posso...

"otta96":
[quote="gugo82"]la funzione di Vitali

Forse intendevi di Cantor :wink:[/quote]
Ho sempre pensato che la funzione fosse proprio di Vitali... Si dovrebbe vedere l'articolo del 1905 citato un po' ovunque; appena ho un po' di tempo me lo procuro.


@ dissonance: L'avrei linkato io, perché l'avevo usato tra i riferimenti per la tesi di laurea millenni fa... Però non ricordavo il riferimento; l'avrei dovuto andare a cercare, ma il tempo da dedicare al forum ultimamente scarseggia.

otta96
Io la conoscevo col nome di funzione di Cantor, ma dando un'occhiata a Wikipedia ho visto che la chiamano anche funzione di Cantor Vitali, inoltre io pensavo alla funzione di Vitali come ad un'altra ma l'ho ricercata e a quanto pare mi ricordavo male perchè si chiamava funzione di Volterra.

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