Immagine di un operatore limitato

[dvd20001]

Ho difficoltà a determinare l'immagine di un operatore limitato $T : C[0,1] \to C[0,1]$ definito come segue:
$$ Tf(x) = \frac{x}{1+x^2} f(x)$$
Nella parte precedente dell'esercizio ho trovato che \(\displaystyle \lVert T \rVert_{\mathcal{L}(C[0,1])} = \frac{1}{2} \), dove la norma è l'usuale norma operatoriale e la norma su $C[0,1]$ è quella del max (la disuguaglianza mi sembra abbastanza immediata e l'uguaglianza è verificata dalla funzione costante $f \equiv 1$ su $[0,1]$), non so se questo mi può aiutare in qualche modo.

Qualcuno sa darmi qualche indizio su cosa posso dire di una generica funzione dell'immagine?

(Ho lo stesso problema con l'immagine dell'operatore $T : C[0,1] \to C[0,1]$ definito da $Tf(x) = \int_0^x (x-s)f(s) ds $, anche qui se non sbaglio ho lo stesso valore per la norma)

[otta96]

Prova a capire quale sarebbe l'inversa anche se non definita su tutto il codominio e vedi se per qualche funzione c'è qualche problema.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il secondo operatore:

$g(x)=\int_{0}^{x}(x-s)f(s)ds=x\int_{0}^{x}f(s)ds-\int_{0}^{x}s f(s)ds rarr$

$rarr (dg)/(dx)=\int_{0}^{x}f(s)ds+xf(x)-xf(x) rarr$

$rarr (dg)/(dx)=\int_{0}^{x}f(s)ds rarr$

$rarr (d^2g)/(dx^2)=f(x) rarr$

$rarr g(x) in C^2[0,1]$

Inoltre:

$[g(0)=0] ^^ [(dg)/(dx)(0)=0]$

[dvd20001]

"otta96":Prova a capire quale sarebbe l'inversa anche se non definita su tutto il codominio e vedi se per qualche funzione c'è qualche problema.

Grazie per la risposta.

Procedendo in maniera poco formale direi $$ T^{-1}g(x) = \frac{1+x^2}{x} g(x)$$ per una funzione $g \in C[0,1]$. Affinché $T^{-1}g$ sia in $C[0,1]$ bisogna quindi assicurarsi che la funzione sia ben definita in $0$ (o piuttosto, prolungabile per continuità da $(0,1]$ a $[0,1]$). Quindi penso che la condizione da soddisfare sia che $\lim_{x \to 0^+} g(x)/x$ esista (finito). Giusto?

Posso quindi concludere che ogni funzione $C[0,1]$ che soddisfa questa condizione si trova nell'immagine dell'operatore $T$?