I compatti deboli sono limitati?
Ciao a tutti, stavo pensando ai compatti deboli in spazi normati quando mi sono reso conto che una cosa che davo per scontato non lo è affatto!
Io infatti davo abbastanza per scontato che i compatti deboli in uno spazio normato fossero per forza limitati, ma poi ho provato a dimostrarlo ma non mi è riuscito perchè il problema è che essendo la norma semicontinua inferiormente (debolmente) assume minimo, non massimo come servirebbe a me.
Ho anche provato a cercare compatti deboli che fossero illimitati, ma invano. Anche se mentre pensavo a questa cosa mi è sorta un'altra domanda: possono avere parte interna vuota? Questa è una condizione più forte perché di sicuro se hanno parte interna vuota sono illimitati dato che ogni aperto debole è illimitato.
Quindi insomma volevo sapere se i compatti deboli possono:
$1)$ essere illimitati;
$2)$ avere parte interna non vuota.
Comunque mi interesserebbe anche capire a cosa servano questi compatti deboli, sinceramente non l'ho molto capito. Cioè, so che la compattezza è una proprietà fortissima (specialmente in spazi $T_2$), ma non ho capito come si può usare in questo caso.
Io infatti davo abbastanza per scontato che i compatti deboli in uno spazio normato fossero per forza limitati, ma poi ho provato a dimostrarlo ma non mi è riuscito perchè il problema è che essendo la norma semicontinua inferiormente (debolmente) assume minimo, non massimo come servirebbe a me.
Ho anche provato a cercare compatti deboli che fossero illimitati, ma invano. Anche se mentre pensavo a questa cosa mi è sorta un'altra domanda: possono avere parte interna vuota? Questa è una condizione più forte perché di sicuro se hanno parte interna vuota sono illimitati dato che ogni aperto debole è illimitato.
Quindi insomma volevo sapere se i compatti deboli possono:
$1)$ essere illimitati;
$2)$ avere parte interna non vuota.
Comunque mi interesserebbe anche capire a cosa servano questi compatti deboli, sinceramente non l'ho molto capito. Cioè, so che la compattezza è una proprietà fortissima (specialmente in spazi $T_2$), ma non ho capito come si può usare in questo caso.
Risposte
Assumi almeno che \( X \) sia di Banach?
Secondo me non fa differenza, ma magari mi sbaglio. Preferisco non assumerlo ma se mi sai rispondere solo in qual caso mi va bene.
Nel caso Banach so rispondere solo alla prima domanda:
Sia \( X \) uno spazio di Banach e sia \(x \in X \). Definisco:
1. \( x^* \in X^{*} \) tale che \( x^*(x) = \|x\|_X \) che esiste per HB.
2. \( \tau_x \in X^{**} \) tale che \( \tau_x(f) = f(x) \) per ogni \( f \in X^* \). Sappiamo che vale \( \|\tau_x\|_{X^{**}} = \|x\|_X \).
Sia \( K \subseteq X \) debolmente compatto. Allora per ogni \( x \in X \) gli insiemi \( x^*(K) \subset \mathbb{R} \) sono compatti. Dunque sono limitati cioè
\[ + \infty > \sup \{ |c| \mid c \in x^*(K) \} = \sup \{ |x^*(y)| \mid y \in K \} = \sup \{ |\tau_y (x^*)| \mid y \in K \} \]
Per Banach-Steinhaus applicato alla famiglia \( \{ \tau_y \mid y \in K \} \subseteq X^{**} \) si ha che esiste \( M \in \mathbb{R} \) tale che
\[ \sup \{ \|\tau_y\|_{X^{**}} \mid y \in K \} < M \]
cioè
\[ \sup \{ \|x\|_X \mid x \in K \} < M \]
Sia \( X \) uno spazio di Banach e sia \(x \in X \). Definisco:
1. \( x^* \in X^{*} \) tale che \( x^*(x) = \|x\|_X \) che esiste per HB.
2. \( \tau_x \in X^{**} \) tale che \( \tau_x(f) = f(x) \) per ogni \( f \in X^* \). Sappiamo che vale \( \|\tau_x\|_{X^{**}} = \|x\|_X \).
Sia \( K \subseteq X \) debolmente compatto. Allora per ogni \( x \in X \) gli insiemi \( x^*(K) \subset \mathbb{R} \) sono compatti. Dunque sono limitati cioè
\[ + \infty > \sup \{ |c| \mid c \in x^*(K) \} = \sup \{ |x^*(y)| \mid y \in K \} = \sup \{ |\tau_y (x^*)| \mid y \in K \} \]
Per Banach-Steinhaus applicato alla famiglia \( \{ \tau_y \mid y \in K \} \subseteq X^{**} \) si ha che esiste \( M \in \mathbb{R} \) tale che
\[ \sup \{ \|\tau_y\|_{X^{**}} \mid y \in K \} < M \]
cioè
\[ \sup \{ \|x\|_X \mid x \in K \} < M \]
Giusto, non avevo pensato a quel corollario di Banach-Steinhaus che dice che se l'immagine di un insieme tramite un qualsiasi funzionale lineare è limitata allora l'insieme è limitato. Allora funziona anche per i compatti deboli *, che era una cosa che volevo chiedere.
Non dire così, la risposta che hai dato implica che i compatti deboli (*) non possono avere parte interna non vuota.
P.S. Come si fa a fare la * con lo stesso font delle formule? Se lo metto tra parentesi viene $*$...
"Bremen000":
Nel caso Banach so rispondere solo alla prima domanda
Non dire così, la risposta che hai dato implica che i compatti deboli (*) non possono avere parte interna non vuota.
P.S. Come si fa a fare la * con lo stesso font delle formule? Se lo metto tra parentesi viene $*$...
Con quello che mi hai detto mi è venuto in mente che essendo gli spazi di Banach dotati della topologia debole sono di prima categoria se la palla è debolmente compatta (cioè se lo spazio è riflessivo). Cosa succede da questo punto di vista se lo spazio non è riflessivo? Cioè, sarà di Baire o no?
Si hai ragione, quello che ho scritto rispondeva implicitamente anche alla seconda domanda. L'asterisco credo si faccia così
o
ma credo che tutto dipenda dal fatto che tu usi il simbolo del dollaro per racchiudere le formule e non \(.
Non so se so rispondere ma non ho proprio capito la domanda. Il primo periodo non mi è chiaro.
\( * \)
o
\( \ast \)
ma credo che tutto dipenda dal fatto che tu usi il simbolo del dollaro per racchiudere le formule e non \(.
"otta96":
Con quello che mi hai detto mi è venuto in mente che essendo gli spazi di Banach dotati della topologia debole sono di prima categoria se la palla è debolmente compatta (cioè se lo spazio è riflessivo). Cosa succede da questo punto di vista se lo spazio non è riflessivo? Cioè, sarà di Baire o no?
Non so se so rispondere ma non ho proprio capito la domanda. Il primo periodo non mi è chiaro.
Scusami se non sono stato chiaro, quello che volevo dire era che gli spazi di Banach non sono spazi di Baire se dotati della topologia debole quando la palla è debolmente compatta (cioè quando lo spazio è riflessivo), perché vale $X=\bigcup_{n\inNN}B(0,n)$, e essendo compatte in un $T_2$ sono chiuse, hanno parte interna vuota, quindi $X$ è di prima categoria.
A questo punto mi chiedevo cosa succedeva quando lo $X$ non è riflessivo, perché le palle non sono più compatte, ma mentre scrivevo questo messaggio mi sono accorto che non serve che siano compatte, basta che siano chiuse, che è sempre vero, quindi nessuno spazio normato è di Baire con la topologia debole
A questo punto mi chiedevo cosa succedeva quando lo $X$ non è riflessivo, perché le palle non sono più compatte, ma mentre scrivevo questo messaggio mi sono accorto che non serve che siano compatte, basta che siano chiuse, che è sempre vero, quindi nessuno spazio normato è di Baire con la topologia debole
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