Funzioni primitive
Ciao, ho il seguente esercizio teorico sulle funzioni primitive.
Sia $Omega =B(0,1)$, ove $B(0,1)$ è la palla di centro l'origine e raggio unitario. E si ricordi che si dice che $ hin H(Omega) $ ha primitiva in $Omega$ se esiste $Hin H(Omega)$ tale che $ H'(z)=h(z) AA zinOmega $.
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false (nel primo caso fornire una dimostrazione, nel secondo un controesempio):
[list=a]
[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega)$ allora $g(z):=f(z^2)$ ha primitiva in $Omega$.
[/*:m:3mrf9msz]
[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega)$ allora $g(z):=f(z^2)/z^5$ ha primitiva in $Omega\\{0}$
[/*:m:3mrf9msz]
[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega)$ allora $g(z):=f(z^2)/z^2$ ha primitiva in $Omega\\0$
[/*:m:3mrf9msz]
[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega\\0)$ allora $g(z):=f(z^3)/z^3$ ha primitiva in $Omega\\0$
[/*:m:3mrf9msz]
[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega\\0)$ ha primitiva in $Omega\\0$ allora $g(z):=f(z^2)/(z-1/2)^2$ ha primitiva in $Omega\\0,1/2$.[/*:m:3mrf9msz][/list:o:3mrf9msz]
Ovviamente non chiedo di farmi tutti i casi ma almeno una spiegazione di come si possa fare. Io ho provato a fare degli esempi. Nei primi 3 casi ho preso $f(z)=z$ e sostituendo in g dicevo che esiste una primitiva..in questo modo le prime quattro affermazioni risulterebbero vere, mentre l'ultima non saprei.
Grazie
Sia $Omega =B(0,1)$, ove $B(0,1)$ è la palla di centro l'origine e raggio unitario. E si ricordi che si dice che $ hin H(Omega) $ ha primitiva in $Omega$ se esiste $Hin H(Omega)$ tale che $ H'(z)=h(z) AA zinOmega $.
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false (nel primo caso fornire una dimostrazione, nel secondo un controesempio):
[list=a]
[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega)$ allora $g(z):=f(z^2)$ ha primitiva in $Omega$.
[/*:m:3mrf9msz]
[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega)$ allora $g(z):=f(z^2)/z^5$ ha primitiva in $Omega\\{0}$
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[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega)$ allora $g(z):=f(z^2)/z^2$ ha primitiva in $Omega\\0$
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[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega\\0)$ allora $g(z):=f(z^3)/z^3$ ha primitiva in $Omega\\0$
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[*:3mrf9msz] Se $fin H(Omega\\0)$ ha primitiva in $Omega\\0$ allora $g(z):=f(z^2)/(z-1/2)^2$ ha primitiva in $Omega\\0,1/2$.[/*:m:3mrf9msz][/list:o:3mrf9msz]
Ovviamente non chiedo di farmi tutti i casi ma almeno una spiegazione di come si possa fare. Io ho provato a fare degli esempi. Nei primi 3 casi ho preso $f(z)=z$ e sostituendo in g dicevo che esiste una primitiva..in questo modo le prime quattro affermazioni risulterebbero vere, mentre l'ultima non saprei.
Grazie
Risposte
Il problema vero è: cos'è $H(Omega)$?
Cosa sai già dei suoi elementi?
Cosa sai già dei suoi elementi?
$H(Omega)$ è l'insieme delle funzioni olomorfe su $Omega$ ..e so che le funzioni olomorfe possono essere scritte tramite serie si potenze
Beh, allora sai tutto ciò che ti serve.
Ad esempio, se $f$ è analitica in $Omega$ e anche la mappa di $Omega$ in sé $z^2$ è analitica, la composizione $g(z) = f(z^2)$ è analitica in $Omega$.
P.S. (ma importante): Un esempio non dimostra nulla.
Ad esempio, se $f$ è analitica in $Omega$ e anche la mappa di $Omega$ in sé $z^2$ è analitica, la composizione $g(z) = f(z^2)$ è analitica in $Omega$.
P.S. (ma importante): Un esempio non dimostra nulla.
E come faccio a dire che la mappa da $Omega$ in sé è analitica? Non credo di aver capito
Dai, se non è analitica $w = z^2$… 
Non ho ben chiaro l'argomento. Se potessi essere un po' più esplicito, te ne sarei grata
Cos'è una funzione analitica?
Per funzione analitica in genere si intende una funzione reale esprimibile in serie di potenze
Appunto... E la funzione $w = z^2$ non ti sembra esprimibile in serie di potenze?
Se la guardi bene, vedi che è già espressa in serie di potenze convergente nell’intero piano complesso, no?
Se la guardi bene, vedi che è già espressa in serie di potenze convergente nell’intero piano complesso, no?
Si..in particolare in $Omega$..per cui basta concludere che siccome $z^2$ è esprimibile in serie di potenze, allora $ f(z^2)$ ha una primitiva? E gli altri casi allo stesso modo?
Prova a ragionare similmente e vedi se funziona.
Beh per i casi b c d mi verrebbe da pensare che siccome f è sviluppabile in serie di potenze, dividendo per $z^..$ ottengo ancora una serie di potenze. Per cui mi verrebbe da dire che solo olomorfe. Però allora mi sorge un altro dubbio..e cioè il collegamento tra funzione olomorfe e funzione con primitiva. Mi sembra di non aver letto niente a riguardo..ma può essere perché "se una funzione è olomorfa, e cioè sviluppabile in serie di potenza, i termini di una serie di potenze hanno primitiva"?
Mi verrebbe anche da dire che per composizione $f(z^2)/z^5$ è olomorfa per cui ammette primitiva
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