Funzioni olomorfe
Buongiorno
Ho dei dubbi riguardo questa dimostrazione:
Sia f una funzione olomorfa in una corona circolare di centro 0 verificate $ f(e^((2pi)/n i) z) = f(z) $ per ogni z e con n naturale fissato. Mostrare che esiste una funzione g olomorfa tale che $f(z) =g(z^n) $ per ogni z. In particolare, se $n=2$,f è pari; la tesi è che essa è, in realtà, funzione di $z^2$
Innanzitutto, essendo f olomorfa in una corona circolare di centro 0, ho scritto il suo sviluppo in serie di Laurent. Poi, dalla condizione che $ f(e^((2pi)/n i) z) = f(z) $, ho dedotto che i coefficienti nello sviluppo con indice che non sia multiplo di n sono nulli. Ho provato a scrivere g come somma di una serie bilatera di potenze ma non riesco ad esprimere i coefficienti di tale serie un modo che soddisfino le condizioni richieste.
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo
Ho dei dubbi riguardo questa dimostrazione:
Sia f una funzione olomorfa in una corona circolare di centro 0 verificate $ f(e^((2pi)/n i) z) = f(z) $ per ogni z e con n naturale fissato. Mostrare che esiste una funzione g olomorfa tale che $f(z) =g(z^n) $ per ogni z. In particolare, se $n=2$,f è pari; la tesi è che essa è, in realtà, funzione di $z^2$
Innanzitutto, essendo f olomorfa in una corona circolare di centro 0, ho scritto il suo sviluppo in serie di Laurent. Poi, dalla condizione che $ f(e^((2pi)/n i) z) = f(z) $, ho dedotto che i coefficienti nello sviluppo con indice che non sia multiplo di n sono nulli. Ho provato a scrivere g come somma di una serie bilatera di potenze ma non riesco ad esprimere i coefficienti di tale serie un modo che soddisfino le condizioni richieste.
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Da quello che hai trovato puoi scrivere \[ f(z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k z^{nk} \] e se vuoi che la serie a destra sia $g(z^n)$... 
Va bene se, scritta f così
$ f(z) =\sum_{m=-infty} ^(+infty) c_m z^m$
considero la funzione g come somma di questa serie bilatera di potenze?
$ g(z) =\sum_{m=-infty} ^(+infty) c_(m n) z^m$
$ f(z) =\sum_{m=-infty} ^(+infty) c_m z^m$
considero la funzione g come somma di questa serie bilatera di potenze?
$ g(z) =\sum_{m=-infty} ^(+infty) c_(m n) z^m$
Sì, puoi verificarlo direttamente mettendo $z^n$ ad argomento di $g$ e vedendo che ottieni $f(z)$.
Grazie 
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