Funzioni- Norma ed Energia?
Salve a tutti, studiando la norma e l'energia di una funzione mi è venuto un dubbio su un esempio in particolare.
So che data la funzione $ x(t) $ la sua norma è $ ||x(t)||_1=int_(a)^(b) |x(t)| dt $ (1) mentre la sua energia è
$ ||x(t)||_2^2=int_(a)^(b) |x(t)|^2 dt $ e che data l'energia la sua norma si può ricavare facendo la radice quadrata dell'energia della funzione, cioè $ ||x(t)||_1=sqrt(int_(a)^(b) |x(t)|^2 dt) $ .
Dato il seguente esempio e applicando le definizioni però non mi trovo. L'esempio in questione è la semplice funzione $ cost $ .
Infatti la sua energia è $ ||x(t)||_2^2=int_(0)^(2pi) |cost|^2 dt=int_(0)^(2pi) cos^2t dt=pi $
mentre la sua norma presa la definizione (1) sarà $ ||x(t)||_1= int_(0)^(2pi) |cost| dt=4 $.
E quindi facendo la radice dell'energia non mi trovo poi con la norma. Dov'è che commetto l'errore?
Grazie a tutti anticipatamente.
So che data la funzione $ x(t) $ la sua norma è $ ||x(t)||_1=int_(a)^(b) |x(t)| dt $ (1) mentre la sua energia è
$ ||x(t)||_2^2=int_(a)^(b) |x(t)|^2 dt $ e che data l'energia la sua norma si può ricavare facendo la radice quadrata dell'energia della funzione, cioè $ ||x(t)||_1=sqrt(int_(a)^(b) |x(t)|^2 dt) $ .
Dato il seguente esempio e applicando le definizioni però non mi trovo. L'esempio in questione è la semplice funzione $ cost $ .
Infatti la sua energia è $ ||x(t)||_2^2=int_(0)^(2pi) |cost|^2 dt=int_(0)^(2pi) cos^2t dt=pi $
mentre la sua norma presa la definizione (1) sarà $ ||x(t)||_1= int_(0)^(2pi) |cost| dt=4 $.
E quindi facendo la radice dell'energia non mi trovo poi con la norma. Dov'è che commetto l'errore?
Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
"Omi":
$ ||x(t)||_1=int_(a)^(b) |x(t)| dt = \sqrt(int_(a)^(b) |x(t)|^2 dt) $ .
Ma è vero?
No effettivamente no. Però sul libro mi porta queste due definizioni di norma.
Ciao Omi,
Questa cosa che hai scritto non mi risulta proprio... Piuttosto è vero che il valore efficace è definito come la radice quadrata della potenza media, cioè si ha:
$x_{eff} := sqrt{P} $
ove $P := < |x(t)|^2 > = \lim_{T \to +\infty} 1/T \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \text{d}t$
"Omi":
[...] data l'energia la sua norma si può ricavare facendo la radice quadrata dell'energia della funzione, cioè $||x(t)||_1 =\sqrt{\int_a^b |x(t)|^2 dt} $
Questa cosa che hai scritto non mi risulta proprio... Piuttosto è vero che il valore efficace è definito come la radice quadrata della potenza media, cioè si ha:
$x_{eff} := sqrt{P} $
ove $P := < |x(t)|^2 > = \lim_{T \to +\infty} 1/T \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \text{d}t$
Grazie a tutti per la risposta. Allora dal Codegone metodi matematici mi poeta questa definizione.
Mentre dalle dispense del mio professore porta che la norma ha questa definizione.
Mentre dalle dispense del mio professore porta che la norma ha questa definizione.
"Omi":
Grazie a tutti per la risposta.
Prego. Cerca però di non postare immagini, che a lungo andare spariscono rendendo il post poco significativo se non proprio illeggibile...
Non vedo alcuna contraddizione comunque: in un caso si parla della norma $2$, nell'altro della norma $1$; non c'è nulla sulla radice quadrata che hai menzionato, se non che la norma $2$ al quadrato rappresenta l'energia, ma non c'è nulla in relazione alla norma $1$...
Ok Pillo grazie ancora, non essendoci 1 e 2 sul Codegone mi stavo confondendo, grazie come sempre.
Il problema è che si ostinano a consigliarlo, quel testo lì... 
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