Funzioni monotone

[visale94]

Salve a tutti, ho una domanda credo abbastanza semplice.
Ho $f(x)$ tale per cui f è una funzione continua (quindi anche monotona) che mappa funzioni in funzioni (è un funzionale dunque), inoltre ho che x è un punto fisso di questa funzione, pertanto f(x) = x.
Vorrei argomentare che:
$f(x) <= f(x) ∘ f(x)$
Ovvero $f(x)$ restituisce un risultato che è lo stesso di $f(x) ∘ f(x)$.
Va bene argomentare dicendo che la composizione di funzioni continue è continua? Essendo continua essa è anche monotona e pertanto $f(x) ∘ f(x)$ è sempre $>=$ di $f(x)$?
Grazie mille in anticipo!

[gugo82]

Non ha senso comporre immagini, così come non aveva senso comporre punti.

Al massimo, vorresti dimostrare che $f(x) <= f(f(x))$... Ma a partire da quali ipotesi?

Inoltre, dici che $f$ è un funzionale (cioè una funzione a valori numerici) ma lo confondi con un operatore tra spazi di funzioni.
In nessuno dei casi la disuguaglianza proposta funziona. Infatti:

[*:1ntx58rx] se $f$ è un funzionale, non ha in generale senso calcolare $f$ sul numero $f(x)$ (a meno di non considerare forzatamente $f(x)$ come una funzione costante);

[/*:m:1ntx58rx]
[*:1ntx58rx] se $f$ è un operatore, non ha senso in generale porsi il problema di stabilire se $f(x)<= f(f(x))$, perché gli spazi di funzioni non hanno degli ordini "decenti".[/*:m:1ntx58rx][/list:u:1ntx58rx]

Inoltre, usi l'implicazione "continuità implica monotonia" come se $f$ fosse una funzione reale di una variabile reale definita in un intervallo, quindi mischi la teoria di Analisi I in un contesto in cui queste nozioni sono, in generale, prive di senso.

Nei post che hai inserito sul forum vedo una certa confusione sul cosa tu debba fare, sulle strutture e sugli oggetti che manipoli.
Dovresti farti un po' di chiarezza.


P.S.: Sei in tesi? O stai cominciando a fare ricerca?