Funzioni misurabili
Ho studiato dal libro Probability - Shiryayev, che una funzione definita su uno spazio misurabile \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{F}) \) a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), è detta misurabile se è tale che l'anti-immagine di ogni insieme di Borel sia un insieme della \(\displaystyle \sigma \)-algebra \(\displaystyle \mathcal{F} \).
Vorrei legare questa definizione con quella che invece viene data nel libro di Gianni Gilardi, Analisi 3, in cui si dice che per definizione una funzione (lui pensa come dominio al massimo a \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), ma è uguale) è misurabile quando esiste una successione di funzioni a scala (combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di rettangoli) che converge quasi ovunque alla funzione (misurabile) di partenza.
In particolare, non mi sembra che sia necessario prendere come ipotesi la prima definizione per poter inferire la seconda. Infatti, prendiamo per semplicità solo funzioni che non assumono valori negativi (non dovrebbe cambiare niente concettualmente); data una tale funzione \(\displaystyle \xi(\omega) \), la successione di funzioni:
\(\displaystyle \xi_n(\omega)=\sum_{k=1}^{n\cdot 2^n}\frac{k-1}{2^n}I_{k,n}(\omega)+nI_{\xi(\omega)\geq n}(\omega), \quad \quad I_{k,n}(\omega)=\left\{\begin{matrix}
1, & \text{se } \frac{k-1}{2^n}\leq\xi(\omega)<\frac{k}{2^n}
\\
0, & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \)
converge puntualmente a \(\displaystyle \xi(\omega) \) indipendentemente (almeno mi pare) dal fatto che la funzione \(\displaystyle \xi(\omega) \) si supponga misurabile (nel senso di Shiryayev) o meno.
Cosa mi sto perdendo?
Grazie.
Vorrei legare questa definizione con quella che invece viene data nel libro di Gianni Gilardi, Analisi 3, in cui si dice che per definizione una funzione (lui pensa come dominio al massimo a \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), ma è uguale) è misurabile quando esiste una successione di funzioni a scala (combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di rettangoli) che converge quasi ovunque alla funzione (misurabile) di partenza.
In particolare, non mi sembra che sia necessario prendere come ipotesi la prima definizione per poter inferire la seconda. Infatti, prendiamo per semplicità solo funzioni che non assumono valori negativi (non dovrebbe cambiare niente concettualmente); data una tale funzione \(\displaystyle \xi(\omega) \), la successione di funzioni:
\(\displaystyle \xi_n(\omega)=\sum_{k=1}^{n\cdot 2^n}\frac{k-1}{2^n}I_{k,n}(\omega)+nI_{\xi(\omega)\geq n}(\omega), \quad \quad I_{k,n}(\omega)=\left\{\begin{matrix}
1, & \text{se } \frac{k-1}{2^n}\leq\xi(\omega)<\frac{k}{2^n}
\\
0, & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \)
converge puntualmente a \(\displaystyle \xi(\omega) \) indipendentemente (almeno mi pare) dal fatto che la funzione \(\displaystyle \xi(\omega) \) si supponga misurabile (nel senso di Shiryayev) o meno.
Cosa mi sto perdendo?
Grazie.
Risposte
Se non assumessi $xi$ misurabile(nel senso delle controimmagini) come faresti a dire che gli insiemi $I_(k,n)$ siano misurabili?
La seconda definizione ha senso perché le funzioni a scala approssimanti vengono assunte misurabili e anche perché il limite di funzioni misurabili è misurabile.
Ci sono un sacco di motivi per i quali bisogna considerare questa definizione di misurabilità e il primo è dato dalla additività dell'integrale: trovi due successioni approssimanti a scala delle tue funzioni e vuoi tanto usare Beppo-Levi ma non puoi integrare quelle successioni a scala, perché?
La seconda definizione ha senso perché le funzioni a scala approssimanti vengono assunte misurabili e anche perché il limite di funzioni misurabili è misurabile.
Ci sono un sacco di motivi per i quali bisogna considerare questa definizione di misurabilità e il primo è dato dalla additività dell'integrale: trovi due successioni approssimanti a scala delle tue funzioni e vuoi tanto usare Beppo-Levi ma non puoi integrare quelle successioni a scala, perché?
Parto dalla tua prima domanda: perché mi deve interessare che quegli insiemi $I_{k,n}$ debbano stare nella sigma algebra? Sicuramente quegli insieme sono ben definiti, e il limite di quelle funzioni “a scala” converge alla funzione di partenza.
No?
No?
In realtà la prima è una domanda retorica poiché non potresti dirlo a priori, la domanda che devi porti è l'ultima. Perché è normale che siano ben definiti e che la successione converga alla funzione di partenza.
Io ho un'altra obiezione: ma gli $I_{k,n}$ sono intervalli? Direi di no. Mi sembra proprio che la definizione di Gilardi implichi quella di Shiryayev, del viceversa non sono sicuro (propendo per il no).
Provate per approssimazione.
Ogni borelliano lo si può approssimare con intervalli fatti bene... Quindi qualsiasi cosa uno dica per gli intervalli, usualmente, vale per i borelliani.
Ogni borelliano lo si può approssimare con intervalli fatti bene... Quindi qualsiasi cosa uno dica per gli intervalli, usualmente, vale per i borelliani.
"Bremen000":
Io ho un'altra obiezione: ma gli $I_{k,n}$ sono intervalli? Direi di no. Mi sembra proprio che la definizione di Gilardi implichi quella di Shiryayev, del viceversa non sono sicuro (propendo per il no).
Infatti continuo a pensarci anche io...
Premesso che le $\xi_n$ costruite nel primo messaggio convergono a $\xi$ senza ipotesi necessarie sulla misurabilità di $\xi$ (in qualunque dei due sensi), quello che vorrei che venisse fuori per far quadrare un pò le cose è che se suppongo che $\xi$ sia misurabile nel senso di Shiryayev, allora gli $ I_{k,n} $ diventino di conseguenza dei plurirettangoli. Invece se inserisco l'ipotesi appena detta succede solo che gli $ I_{k,n} $ diventano insiemi di Borel in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Qui si dovrebbe innestare il consiglio di gugo82, ma ancora non riesco a vedere come.
Mi sembra che a mano sia difficile far vedere quello che dice gugo (ma magari mi sbaglio). Una possibilità potrebbe essere usare il teorema funzionale delle classi monotone usando come sistema $\pi$ l'insieme $\mathcal{A}$ dei rettangoli aperti e come spazio vettoriale $\mathcal{H}$ i limiti puntuali quasi ovunque di combinazioni lineari di indicatrici di tali rettangoli.
E' chiaro che l'indicatrice di un rettangolo sta in $\mathcal{H}$ e che $\mathcal{H}$ è uno spazio vettoriale. Se ora prendiamo una successione di funzioni non negative $0 \le f_1 \le f_2 \le ... \uparrow f$ con $f_i \in \mathcal{H}$, allora ogni $f_i$ sarà il limite puntuale di indicatrici (non negative) di rettangoli. La mia sensazione è che uno possa intersecare tutti i rettangoli della successione che tende a $f_i$ e ottenere una famiglia di rettangoli $(E_{ik})_k$ di modo che $f_i$ si possa scrivere come
$$ f_i = \sum_k a_{ik} \chi_{E_{ik}}.$$
Intersecando ancora queste famiglie di rettangoli sulle $i$ penso si possa ottenere un'unica famiglia di rettangoli $E_n$ di modo che
$$f_i = \sum_n c_{in} \chi_{E_n}.$$
Penso che si possa far vedere che
$$g_i := \sum_{n=1}^i c_{in} \chi_{E_n}$$
tende puntualmente a $f$, cosicché $f$ sta in $\mathcal{H}$. In questa maniera viene che $\mathcal{H}$ (che è l'insieme delle funzioni misurabili secondo Gilardi) contiene l'insieme delle funzioni misurabili (nel senso di Shiryayev). A posteriori però coincidono, visto che l'altra inclusione è ovvia.
Ora, c'è da sistemare qualche dettaglio ma forse qui su matematicamente posso permettermi il lusso (negatomi nella vita reale) di dire "sistema pure i dettagli"
.
E' chiaro che l'indicatrice di un rettangolo sta in $\mathcal{H}$ e che $\mathcal{H}$ è uno spazio vettoriale. Se ora prendiamo una successione di funzioni non negative $0 \le f_1 \le f_2 \le ... \uparrow f$ con $f_i \in \mathcal{H}$, allora ogni $f_i$ sarà il limite puntuale di indicatrici (non negative) di rettangoli. La mia sensazione è che uno possa intersecare tutti i rettangoli della successione che tende a $f_i$ e ottenere una famiglia di rettangoli $(E_{ik})_k$ di modo che $f_i$ si possa scrivere come
$$ f_i = \sum_k a_{ik} \chi_{E_{ik}}.$$
Intersecando ancora queste famiglie di rettangoli sulle $i$ penso si possa ottenere un'unica famiglia di rettangoli $E_n$ di modo che
$$f_i = \sum_n c_{in} \chi_{E_n}.$$
Penso che si possa far vedere che
$$g_i := \sum_{n=1}^i c_{in} \chi_{E_n}$$
tende puntualmente a $f$, cosicché $f$ sta in $\mathcal{H}$. In questa maniera viene che $\mathcal{H}$ (che è l'insieme delle funzioni misurabili secondo Gilardi) contiene l'insieme delle funzioni misurabili (nel senso di Shiryayev). A posteriori però coincidono, visto che l'altra inclusione è ovvia.
Ora, c'è da sistemare qualche dettaglio ma forse qui su matematicamente posso permettermi il lusso (negatomi nella vita reale) di dire "sistema pure i dettagli"
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"Bremen000":
La mia sensazione è che uno possa intersecare tutti i rettangoli della successione che tende a fi e ottenere una famiglia di rettangoli \(\displaystyle (E_{ik})_k \) di modo che \(\displaystyle f_i \) si possa scrivere come...
Questa idea non mi è chiara: se interseco tutti i rettangoli che sono serviti a definire ogni funzione della successione che tende a \(\displaystyle f_i \), alla fine potrebbero rimanere esclusi dei punti \(\displaystyle \omega \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), che verrebbero mappati quindi in 0 anziché in \(\displaystyle f_i(\omega) \).
La proprietà 3 in oggetto del post di Bremen000 corrisponde alla proposizione 3.4 del libro di Gilardi a pag. 42, che viene dimostrata a pag. 54. Tuttavia la dimostrazione sua utilizza per comodità il teorema di Lebesgue già dimostrato nelle pagine precedenti, che si basa sul teorema di Beppo-Levi, che si basa sul teorema di completezza, che usa il Lemma fondamentale di pag. 49. Da tutta questa catena non riesco a estrarre la parte utile che potrei usare in maniera separata per provare soltanto la proprietà di misurabilità della funzione limite di funzioni misurabili.
Per farla breve, il tutto è troppo intrecciato alla proprietà (2.3) della definizione di integrabilità a pagina 38, che io invece vorrei scorporare.
Per farla breve, il tutto è troppo intrecciato alla proprietà (2.3) della definizione di integrabilità a pagina 38, che io invece vorrei scorporare.
Scusate se ritorno su questo tema. Ho capito come condurre la dimostrazione di quanto ha proposto Bremen000. Al di là di questa cosa però, il problema mi sembra non risolto del tutto: il teorema funzionale delle classi monotone riesce a stabilire che l'insieme delle funzioni Gilardi-misurabili contiene tutte le funzioni limitate Shiryayev-misurabili. In altre parole abbiamo raggiunto:
$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ Shiryayev-misurabile rispetto alla \(\displaystyle \sigma \)-algebra \(\displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) e limitata $\implies f$ è il limite quasi ovunque di combinazioni lineari finite di indicatrici di rettangoli.
Non abbiamo raggiunto invece la voluta:
$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ Shiryayev-misurabile rispetto alla \(\displaystyle \sigma \)-algebra \(\displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \implies f \) è il limite quasi ovunque di combinazioni lineari finite di indicatrici di rettangoli.
Che succede se \(\displaystyle f \) non è limitata? Non ci credo che le due definizioni producono due teorie diverse... Ci sono riferimenti in giro sull'equivalenza di questi due modi di definire le funzioni misurabili? Avete mai avuto anche voi lo stesso dubbio?
Grazie per la pazienza.
PS: per adesso direi di non preoccuparci di includere la possibilità che \(\displaystyle f \) possa assumere anche valori infiniti.
$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ Shiryayev-misurabile rispetto alla \(\displaystyle \sigma \)-algebra \(\displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) e limitata $\implies f$ è il limite quasi ovunque di combinazioni lineari finite di indicatrici di rettangoli.
Non abbiamo raggiunto invece la voluta:
$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ Shiryayev-misurabile rispetto alla \(\displaystyle \sigma \)-algebra \(\displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \implies f \) è il limite quasi ovunque di combinazioni lineari finite di indicatrici di rettangoli.
Che succede se \(\displaystyle f \) non è limitata? Non ci credo che le due definizioni producono due teorie diverse... Ci sono riferimenti in giro sull'equivalenza di questi due modi di definire le funzioni misurabili? Avete mai avuto anche voi lo stesso dubbio?
Grazie per la pazienza.
PS: per adesso direi di non preoccuparci di includere la possibilità che \(\displaystyle f \) possa assumere anche valori infiniti.
L'ennesima funzione la modifichi prendendone il minimo tra lei e $n$ (caso positivo) e tutto funziona.
Provo a vedere se ho capito.
Prendiamo come base di partenza l'implicazione già dimostrata:
A questo punto consideriamo una $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ Shiryayev-misurabile ma non limitata, e scriviamola come limite di funzioni $f_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ Shiryayev-misurabili limitate, dove al passo $n$ la funzione $f_n$ coincide con la funzione $f$ nei punti in cui quest'ultima risulti minore di $n$, mentre in tutti gli altri punti del dominio in cui supera tale valore, essa viene 'segata' a $n$. Poi, dalla proposizione quotata abbiamo che ognuna di queste $f_n$ è a sua volta limite q.o. di funzioni a scala (combinazioni lineari finite di indicatrici di rettangoli) $f_{n_k}$.
A questo punto se prendo la successione diagonale $f_{m_m}$ dovrei aver raggiunto lo scopo.
Dico bene?
Prendiamo come base di partenza l'implicazione già dimostrata:
"Silent":
$ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ Shiryayev-misurabile rispetto alla \( \displaystyle \sigma \)-algebra \( \displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) e limitata $ \implies f $ è il limite quasi ovunque di combinazioni lineari finite di indicatrici di rettangoli.
A questo punto consideriamo una $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ Shiryayev-misurabile ma non limitata, e scriviamola come limite di funzioni $f_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} $ Shiryayev-misurabili limitate, dove al passo $n$ la funzione $f_n$ coincide con la funzione $f$ nei punti in cui quest'ultima risulti minore di $n$, mentre in tutti gli altri punti del dominio in cui supera tale valore, essa viene 'segata' a $n$. Poi, dalla proposizione quotata abbiamo che ognuna di queste $f_n$ è a sua volta limite q.o. di funzioni a scala (combinazioni lineari finite di indicatrici di rettangoli) $f_{n_k}$.
A questo punto se prendo la successione diagonale $f_{m_m}$ dovrei aver raggiunto lo scopo.
Dico bene?
Io intendevo un'altra cosa ma funziona anche così 
Grazie mille.
Poi se ti va sono comunque curioso di capire cosa intendevi.
Poi se ti va sono comunque curioso di capire cosa intendevi.
Invece di fare questa cosa sulla $f$ la fai sulle $f_n$ che hai considerato.
Ah ok, grazie. 
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