Funzioni meromorfe sono quozienti di funzioni olomorfe
Sia \( \Omega \neq \mathbb{C} \) un aperto. Dimostra che tutte le funzioni meromorfe in \( \Omega \) il cui insieme di poli è limitato, è il quoziente di due funzioni olomorfe.
f(z) possiede un polo che è di modulo massimale diciamo \( R \), pertanto tutti i poli sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \), pertanto la funzione \( f \) è olomorfa in \( \Omega \setminus \overline{D(0,R+\epsilon)} \), pertanto siccome tutti i poli di \( f \) sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \) abbiamo che \( f \) possiede un numero finito di poli, chiamiamoli \( z_1,\ldots,z_k \).
Denotiamo \( L_j = S_j + R_j \) lo sviluppo di Laurenti di \( f \) in un intorno bucato del polo \( z_j \), con \( j =1,\ldots,k \). E dove \( S_j \) e \( R_j \) rappresentano rispettivamente la parte singolare (principale) e la parte regolare.
Abbiamo allora che la funzione
\[ g:= f- \sum\limits_{j=1}^{k}S_j \]
è una funzione olomorfa in \( \Omega \) ed è limitata su \( \overline{D(0,R+\epsilon)} \).
Se riesco a dimostrare che \( g \) è limitata anche in \( \Omega \setminus \overline{D(0,R+\epsilon)} \), e che il prolungamento analitica di \( g \) a \( \mathbb{C} \) è limitato allora...
...abbiamo che \( g \) è costante, diciamo che \( g(z)=c \) pertanto \[f= c + \sum\limits_{j=1}^{k}S_j \]
e dunque è una funzione razionale, data dal rapporto di due polinomi, e pertanto è il quoziente di due funzioni olomorfe.
f(z) possiede un polo che è di modulo massimale diciamo \( R \), pertanto tutti i poli sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \), pertanto la funzione \( f \) è olomorfa in \( \Omega \setminus \overline{D(0,R+\epsilon)} \), pertanto siccome tutti i poli di \( f \) sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \) abbiamo che \( f \) possiede un numero finito di poli, chiamiamoli \( z_1,\ldots,z_k \).
Denotiamo \( L_j = S_j + R_j \) lo sviluppo di Laurenti di \( f \) in un intorno bucato del polo \( z_j \), con \( j =1,\ldots,k \). E dove \( S_j \) e \( R_j \) rappresentano rispettivamente la parte singolare (principale) e la parte regolare.
Abbiamo allora che la funzione
\[ g:= f- \sum\limits_{j=1}^{k}S_j \]
è una funzione olomorfa in \( \Omega \) ed è limitata su \( \overline{D(0,R+\epsilon)} \).
Se riesco a dimostrare che \( g \) è limitata anche in \( \Omega \setminus \overline{D(0,R+\epsilon)} \), e che il prolungamento analitica di \( g \) a \( \mathbb{C} \) è limitato allora...
...abbiamo che \( g \) è costante, diciamo che \( g(z)=c \) pertanto \[f= c + \sum\limits_{j=1}^{k}S_j \]
e dunque è una funzione razionale, data dal rapporto di due polinomi, e pertanto è il quoziente di due funzioni olomorfe.
Risposte
È molto più facile
Pertanto siccome i poli sono in un numero finito e denotando con \(m_i \) l'ordine del polo \(z_i \) risulta che
\( f(z) = (z-z_1)^{-m_1}\ldots(z-z_k)^{-m_k} g(z) \)
dove \( g(z) \) è una funzione olomorfa.
Abbiamo ora che \( f(z) = \frac{g(z)}{h(z)} \)
dove \( h(z) := \prod_{ 1 \leq i \leq k } (z - z_i)^{m_i} \) essendo un polinomio è evidentemente una funzione olomorfa.
c.v.d.
"3m0o":
Sia \( \Omega \neq \mathbb{C} \) un aperto. Dimostra che tutte le funzioni meromorfe in \( \Omega \) il cui insieme di poli è limitato, è il quoziente di due funzioni olomorfe.
f(z) possiede un polo che è di modulo massimale diciamo \( R \), pertanto tutti i poli sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \), pertanto la funzione \( f \) è olomorfa in \( \Omega \setminus \overline{D(0,R+\epsilon)} \), pertanto siccome tutti i poli di \( f \) sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \) abbiamo che \( f \) possiede un numero finito di poli, chiamiamoli \( z_1,\ldots,z_k \).
Pertanto siccome i poli sono in un numero finito e denotando con \(m_i \) l'ordine del polo \(z_i \) risulta che
\( f(z) = (z-z_1)^{-m_1}\ldots(z-z_k)^{-m_k} g(z) \)
dove \( g(z) \) è una funzione olomorfa.
Abbiamo ora che \( f(z) = \frac{g(z)}{h(z)} \)
dove \( h(z) := \prod_{ 1 \leq i \leq k } (z - z_i)^{m_i} \) essendo un polinomio è evidentemente una funzione olomorfa.
c.v.d.
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