Funzioni limitate e non costanti
Esistono delle funzioni olomorfe non costanti e limitati nei seguenti spazi? Se si trovale esplicitamente
i) \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \to \mathbb{C} \)
ii) \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \)
iii) \( f: \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \)
iv) \( f: \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_- \to \mathbb{C} \)
Io direi di sì. Per il primo spazio \( g(z) = \frac{1}{\sqrt{z} +1} \) dovrebbe andar bene in quanto la radice è ben definita su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) e inoltre \( \sqrt{re^{i \theta}} = \sqrt{r}e^{i \theta/2} \)
Pertanto se \( 0 \leq \theta < \pi \) abbiamo che \(0 \leq \theta/2 < \pi/2 \) mentre se \( - \pi > \theta \geq 0 \) abbiamo che \( - \pi/2 > \theta \geq 0 \)
Pertanto possiamo dire che esiste \( \delta >0 \) tale che \( \left| \sqrt{z} + 1 \right| > \delta \) e quindi \( g \) è limitata ma non è costante.
Per le altre ho pensato di utilizzare il fatto che sono tutti dei semplicemente connessi pertanto esiste una mappa conforme che trasforma lo spazio in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Ad esempio prendendo la mappa conforme \(\phi : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) possiamo prendere semplicemente una rotazione di \( \pi \) e quindi
abbiamo che \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \) è la composizione di due funzioni olomorfe e pertanto olomorfa, \( f := g \circ \phi \) e la forma esplicita à data da
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{\pi z} +1} \].
Applicherei lo stesso ragionamento anche per gli altri punti. E dovrebbe andar bene questo ragionamento in realta per ogni \( U \) semplicemente connesso (distinto da \( \mathbb{C} \) ). Troviamo una mappa conforme \( \phi : U \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) e applichiamo la \( g \) definita al punto i) e giochi son fatti!
Oppure ancora trasferire tutto al disco e prendere una funzione olomorfa (e non costante) qualsiasi sul disco.
Curiosità senza applicare le rotazioni non mi viene in mente niente, qualcuno mi aiuta a trovare degli esempi di funzioni olomorfe senza passare dalle mappe conformi per gli altri spazi?
i) \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \to \mathbb{C} \)
ii) \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \)
iii) \( f: \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \)
iv) \( f: \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_- \to \mathbb{C} \)
Io direi di sì. Per il primo spazio \( g(z) = \frac{1}{\sqrt{z} +1} \) dovrebbe andar bene in quanto la radice è ben definita su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) e inoltre \( \sqrt{re^{i \theta}} = \sqrt{r}e^{i \theta/2} \)
Pertanto se \( 0 \leq \theta < \pi \) abbiamo che \(0 \leq \theta/2 < \pi/2 \) mentre se \( - \pi > \theta \geq 0 \) abbiamo che \( - \pi/2 > \theta \geq 0 \)
Pertanto possiamo dire che esiste \( \delta >0 \) tale che \( \left| \sqrt{z} + 1 \right| > \delta \) e quindi \( g \) è limitata ma non è costante.
Per le altre ho pensato di utilizzare il fatto che sono tutti dei semplicemente connessi pertanto esiste una mappa conforme che trasforma lo spazio in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Ad esempio prendendo la mappa conforme \(\phi : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) possiamo prendere semplicemente una rotazione di \( \pi \) e quindi
abbiamo che \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \) è la composizione di due funzioni olomorfe e pertanto olomorfa, \( f := g \circ \phi \) e la forma esplicita à data da
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{\pi z} +1} \].
Applicherei lo stesso ragionamento anche per gli altri punti. E dovrebbe andar bene questo ragionamento in realta per ogni \( U \) semplicemente connesso (distinto da \( \mathbb{C} \) ). Troviamo una mappa conforme \( \phi : U \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) e applichiamo la \( g \) definita al punto i) e giochi son fatti!
Oppure ancora trasferire tutto al disco e prendere una funzione olomorfa (e non costante) qualsiasi sul disco.
Curiosità senza applicare le rotazioni non mi viene in mente niente, qualcuno mi aiuta a trovare degli esempi di funzioni olomorfe senza passare dalle mappe conformi per gli altri spazi?
Risposte
E perché non vuoi applicare le rotazioni? E' molto meglio, ottieni degli esempi semplici ed espliciti, senza dover passare per complicazioni teoriche.
Si, hai ragione con le mappe conformi è più bello, ma mi sono appena accorto di un altro modo bello e relativamente facile, collegando la mia domanda sulla determinazione del log potremmo vedere che
se consideriamo la determinazione del logaritmo su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) abbiamo che con \( \arg(z) \in [0,2\pi) \) allora \( \sqrt{z}:= \sqrt{\left|z \right|}e^{i \arg(z)/2} \) manda \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) in \( \mathbb{H}_+ := \{ z \in \mathbb{C} : \Im(z) > 0 \} \) e quindi la radice definita come sopra non ha immagine nel semipiano inferiore e dunque esiste \( \delta >0 \) tale che
\[ \left| \sqrt{z} + i \right| > \delta \] e dunque
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{z} + i } \] è limitata e non costante.
Alternativamente su \( \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_+ \) possiamo definire prendere \( \arg(z) \in [\pi/2, 5\pi/2) \) e pertanto definire il logaritmo e la radice \( \sqrt{z} := \sqrt{ \left|z\right|} e^{i \arg(z)/2} \) e dunque notare che la radice mappa \( \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_+ \) nel semi piano \( \mathbb{H}_0 := \{ z \in \mathbb{C} : \Re(z) >0 \} \) ruotato di \( 3 \pi/4 \) in senso trigonometrico.
Pertanto esiste \( \delta >0 \) tale che
\[ \left| \sqrt{z} + e^{ i 7\pi/4} \right| > \delta \]
e dunque
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{z} + e^{ i 7 \pi/4} } \] è limitata e non costante.
se consideriamo la determinazione del logaritmo su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) abbiamo che con \( \arg(z) \in [0,2\pi) \) allora \( \sqrt{z}:= \sqrt{\left|z \right|}e^{i \arg(z)/2} \) manda \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) in \( \mathbb{H}_+ := \{ z \in \mathbb{C} : \Im(z) > 0 \} \) e quindi la radice definita come sopra non ha immagine nel semipiano inferiore e dunque esiste \( \delta >0 \) tale che
\[ \left| \sqrt{z} + i \right| > \delta \] e dunque
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{z} + i } \] è limitata e non costante.
Alternativamente su \( \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_+ \) possiamo definire prendere \( \arg(z) \in [\pi/2, 5\pi/2) \) e pertanto definire il logaritmo e la radice \( \sqrt{z} := \sqrt{ \left|z\right|} e^{i \arg(z)/2} \) e dunque notare che la radice mappa \( \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_+ \) nel semi piano \( \mathbb{H}_0 := \{ z \in \mathbb{C} : \Re(z) >0 \} \) ruotato di \( 3 \pi/4 \) in senso trigonometrico.
Pertanto esiste \( \delta >0 \) tale che
\[ \left| \sqrt{z} + e^{ i 7\pi/4} \right| > \delta \]
e dunque
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{z} + e^{ i 7 \pi/4} } \] è limitata e non costante.
Si, ho capito, penso che in fondo siano due maniere diverse di dire la stessa cosa, grosso modo. Ma va bene, è un buon esercizio. (Io in realtà non credo di avere mai davvero capito le funzioni multivoche).
"dissonance":
Si, ho capito, penso che in fondo siano due maniere diverse di dire la stessa cosa, grosso modo. Ma va bene, è un buon esercizio. (Io in realtà non credo di avere mai davvero capito le funzioni multivoche).
Si penso anche io che siano fondamentalmente la stessa cosa perché in un caso ruoti \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) e nell'altro caso fondamentalmente ruoti \( \operatorname{Im}(\sqrt{z}) \) dove è la radice definita a partire dalla determinazione principale del logaritmo (credo).
(Si sono forse le cose che ho capito meno del corso)
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