Funzioni intere che soddisfano l'equazione di Fermat
Siano \(f,g \) due funzioni intere tali che soddisfano l'equazione di Fermat: \( f^n + g^n = 1 \), per \( n >2 \), dimostra che \( f,g \) sono costanti.
Non so se è la via corretta ma
Abbiamo che \( f/g \) meromorfa con poli negli zeri di \(g \) ma abbiamo che
\( f^n/g^n - 1/g^n=(f^n- 1)/g^n = 1 \) chiamando \( h = f^n -1 \) abbiamo che \( h \) è intera e non costante, e in più \( h /g^n \) è meromorfa su \( \mathbb{C} \) ma è costante e vale 1 pertanto abbiamo che le singolarità della \( g^n \) sono delle singolarità eliminabili pertanto \( g^n \) non si annulla mai, altrimenti \(h/g^n \) non varebbe 1.
Pertanto \( f/g \) è intera così come \( (f^n-1)/g^n \) ma è limitata e pertanto è costante seuge che \( f/g \) è costante.
Pertanto abbiamo che \( g= k f \) con \(k \) costante, ma quindi \( f^n (k^n + 1) = 1 \) è una funzione intera e costante poiché limitata segue che \( f \) costante e quindi \( g \) pure.
Non so se è la via corretta ma
Abbiamo che \( f/g \) meromorfa con poli negli zeri di \(g \) ma abbiamo che
\( f^n/g^n - 1/g^n=(f^n- 1)/g^n = 1 \) chiamando \( h = f^n -1 \) abbiamo che \( h \) è intera e non costante, e in più \( h /g^n \) è meromorfa su \( \mathbb{C} \) ma è costante e vale 1 pertanto abbiamo che le singolarità della \( g^n \) sono delle singolarità eliminabili pertanto \( g^n \) non si annulla mai, altrimenti \(h/g^n \) non varebbe 1.
Pertanto \( f/g \) è intera così come \( (f^n-1)/g^n \) ma è limitata e pertanto è costante seuge che \( f/g \) è costante.
Pertanto abbiamo che \( g= k f \) con \(k \) costante, ma quindi \( f^n (k^n + 1) = 1 \) è una funzione intera e costante poiché limitata segue che \( f \) costante e quindi \( g \) pure.
Risposte
Non capisco. La $g$ è intera, quindi $g^n$ è intera, che singolarità potrebbe mai avere? E poi, non potrebbe darsi che $g^n$ si annulla in un punto in cui $f^n-1=0$?
Inoltre questa dimostrazione deve sfruttare in qualche modo $n\ge 3$. Altrimenti essa sarebbe vera anche per $n=2$, contraddicendo l'esistenza di $\sin$ e $\cos$.
Inoltre questa dimostrazione deve sfruttare in qualche modo $n\ge 3$. Altrimenti essa sarebbe vera anche per $n=2$, contraddicendo l'esistenza di $\sin$ e $\cos$.
Supponiamo che \( f^n \) omette almeno un valore, in altre parole \( \operatorname{Im}(f^n)=\mathbb{C} \setminus \{ z_0 \} \)
Abbiamo dunque che \( f^n + g^n =1 \) implica che \( e^{f^n } e^{g^n} = e \) e pertanto se \( \forall z \in \mathbb{C} \) risulta \( f(z) \neq z_0 \) e poiché chiaramente \( e^{g^n} \neq 0 \), ma abbiamo inoltre che \( e^{g^n} \neq e^{1-z_0} \neq 0 \) e pertanto per il piccolo teorema di Picard \( e^{g^n} \) è costante poiché omette due valori e dunque \(g \) lo è, e pertanto anche \(f \) è costante.
Se invece quanto ipotizzato fosse falso non saprei come utilizzare la condizione che \( n > 2 \) nel caso che non supponiamo che \( f^n \) omette almeno un valore.
NB: supporre che \(f^n \) omette almeno un valore esclude automaticamente \( sin^2 \) poiché se non vado errato è suriettiva.
Abbiamo dunque che \( f^n + g^n =1 \) implica che \( e^{f^n } e^{g^n} = e \) e pertanto se \( \forall z \in \mathbb{C} \) risulta \( f(z) \neq z_0 \) e poiché chiaramente \( e^{g^n} \neq 0 \), ma abbiamo inoltre che \( e^{g^n} \neq e^{1-z_0} \neq 0 \) e pertanto per il piccolo teorema di Picard \( e^{g^n} \) è costante poiché omette due valori e dunque \(g \) lo è, e pertanto anche \(f \) è costante.
Se invece quanto ipotizzato fosse falso non saprei come utilizzare la condizione che \( n > 2 \) nel caso che non supponiamo che \( f^n \) omette almeno un valore.
NB: supporre che \(f^n \) omette almeno un valore esclude automaticamente \( sin^2 \) poiché se non vado errato è suriettiva.
Non credo che funzioni. Funzionerebbe se l'esponenziale fosse ingettiva, ma non lo è. Difatti è sicuramente sbagliato perché non usa la condizione \(n>2\).
Non dico che è completa, ma secondo me è parzialmente giusta.
Nel caso in cui una delle due funzioni omette almeno un valore complesso mi sembra funzionare. Nel caso in cui questo non avviene non so.
Nel caso in cui una delle due funzioni omette almeno un valore complesso mi sembra funzionare. Nel caso in cui questo non avviene non so.
No, secondo me non puoi salvare niente. Non stai usando affatto la \(n\), tu stai essenzialmente considerando l'equazione
\[
f+g=1.\]
Ora, questa equazione ammette SEMPRE soluzione, banalmente:
\[
g=1-f, \]
a prescindere dai valori che \(f\) omette o non omette.
\[
f+g=1.\]
Ora, questa equazione ammette SEMPRE soluzione, banalmente:
\[
g=1-f, \]
a prescindere dai valori che \(f\) omette o non omette.
No. Non trovo nessun errore nel seguente ragionamento. Io sto dimostrando quanto segue:
Se \( f ,g \) sono intere e \( f \) omette un valore e soddisfano \( f^n + g^n = 1 \), \( \forall n \geq 1 \) allora \( f \) e \( g \) sono costanti.
Poniamo \( n=1 \) ma funziona anche per tutti gli \( n > 1 \).
Se \( f \) omette un valore, diciamo \(z_0 \), abbiamo che \( g= 1-f \) soddisfa l'equazione
\[ f+g= 1 \]
Questo vuol dire che se \( \forall z \in \mathbb{C} \) abbiamo che \( f(z) \neq z_0 \) allora \( g(z) \neq 1- z_0 \).
Abbiamo inoltre che \( f+g \) è intera (è costante) siccome \(f ,g \) lo sono singolarmente, dunque anche \( e^{g+f} \) è intera e in particolare è costante.
E abbiamo dunque che
\[ e^{f+g}=e \]
Pertanto
\[ e^f e^g = e \]
Ora sicuramente \( e^{g(z)} \neq 0 \) per ogni \( z \in \mathbb{C} \) e inoltre siccome \( g \) omette \(1-z_0\) abbiamo che \( e^{g(z)} \neq e^{1- z_0 } \) per ogni \( z \in \mathbb{C} \), siccome \( e^{1-z_0 } \neq 0 \) segue per il piccolo teorema di Picard che una funzione intera che omette due punti è costante!
Dunque \( e^{g(z)} \) è costante e lo è anche \(g \) e pertanto anche \(f \).
Io non ci trovo nessun errore, e in tal caso abbiamo quanto segue
- Se \(1 \leq n \leq 2 \) abbiamo che se \( f ,g \) sono intere tale che soddisfano \( f^n + g^n = 1 \), allora sia \(f \) che \( g \) sono suriettive o costanti, prendi ad esempio \( \sin^2(z) + \cos^2(z) =1 \) sia il \( \sin \) che il \( \cos \) sono suriettivi.
- Per \( n \geq 3 \), dobbiamo ancora dimostrare che se \( f ,g \) sono intere e suriettive allora \( f^n + g^n \neq 1 \) oppure che \( f^n \) omette almeno un punto.
Se \( f ,g \) sono intere e \( f \) omette un valore e soddisfano \( f^n + g^n = 1 \), \( \forall n \geq 1 \) allora \( f \) e \( g \) sono costanti.
Poniamo \( n=1 \) ma funziona anche per tutti gli \( n > 1 \).
Se \( f \) omette un valore, diciamo \(z_0 \), abbiamo che \( g= 1-f \) soddisfa l'equazione
\[ f+g= 1 \]
Questo vuol dire che se \( \forall z \in \mathbb{C} \) abbiamo che \( f(z) \neq z_0 \) allora \( g(z) \neq 1- z_0 \).
Abbiamo inoltre che \( f+g \) è intera (è costante) siccome \(f ,g \) lo sono singolarmente, dunque anche \( e^{g+f} \) è intera e in particolare è costante.
E abbiamo dunque che
\[ e^{f+g}=e \]
Pertanto
\[ e^f e^g = e \]
Ora sicuramente \( e^{g(z)} \neq 0 \) per ogni \( z \in \mathbb{C} \) e inoltre siccome \( g \) omette \(1-z_0\) abbiamo che \( e^{g(z)} \neq e^{1- z_0 } \) per ogni \( z \in \mathbb{C} \), siccome \( e^{1-z_0 } \neq 0 \) segue per il piccolo teorema di Picard che una funzione intera che omette due punti è costante!
Dunque \( e^{g(z)} \) è costante e lo è anche \(g \) e pertanto anche \(f \).
Io non ci trovo nessun errore, e in tal caso abbiamo quanto segue
- Se \(1 \leq n \leq 2 \) abbiamo che se \( f ,g \) sono intere tale che soddisfano \( f^n + g^n = 1 \), allora sia \(f \) che \( g \) sono suriettive o costanti, prendi ad esempio \( \sin^2(z) + \cos^2(z) =1 \) sia il \( \sin \) che il \( \cos \) sono suriettivi.
- Per \( n \geq 3 \), dobbiamo ancora dimostrare che se \( f ,g \) sono intere e suriettive allora \( f^n + g^n \neq 1 \) oppure che \( f^n \) omette almeno un punto.
Ma non può essere vero. Per esempio,
\[
f(z)=z, \qquad g(z)=1-z, \]
non sono costanti, sono intere, e soddisfano
\[
f(z)+g(z)=1.\]
\[
f(z)=z, \qquad g(z)=1-z, \]
non sono costanti, sono intere, e soddisfano
\[
f(z)+g(z)=1.\]
"dissonance":
Ma non può essere vero. Per esempio,
\[
f(z)=z, \qquad g(z)=1-z, \]
non sono costanti, sono intere, e soddisfano
\[
f(z)+g(z)=1.\]
Si ma \( f(z)=z \) non omette nessun valore. Infatti per ogni \( z \in \mathbb{C} \) esiste \( z \in \mathbb{C} \) tale che \(f(z) = z \).
"3m0o":
Se \( f ,g \) sono intere e \( f \) omette un valore e soddisfano \( f^n + g^n = 1 \), \( \forall n \geq 1 \) allora \( f \) e \( g \) sono costanti.
edit: tra l'altro ho scritto una cosa ma intendevo un altra,
per \( n \geq 1 \), se \( f ,g \) sono intere e \( f \) omette un valore e soddisfano \( f^n + g^n = 1 \), allora \( f \) e \( g \) sono costanti.
E va bene, allora prendi
\[f(z)=e^z,\quad g(z)=1-e^z.\]
Entrambe omettono un valore, la loro somma è 1 ma non sono costanti.
\[f(z)=e^z,\quad g(z)=1-e^z.\]
Entrambe omettono un valore, la loro somma è 1 ma non sono costanti.
Hai ragione, perché \( e^{1-e^z} = e \) ad esempio se \(e^z = -2\pi i \) quindi \( e^{g(z)} \) omette solo un valore e non due, sebbene \(g(z) \) omette il valore \(1 \).
edit: Sta lì l'errore nel mio ragionamento, dare per scontato che \( e^{g(z)} \) omette due valori.
edit: Sta lì l'errore nel mio ragionamento, dare per scontato che \( e^{g(z)} \) omette due valori.
Eh si. Ma sinceramente non ti so proprio dire come si fa questo esercizio. Bello tosto eh. Per non parlare di quell'altra mostruosità, dimostrare che due anelli sono conformi se e solo se il rapporto dei due raggi è uguale per entrambi. Ho letto delle soluzioni, ma non mi sarebbero MAI venute in mente durante un esame.
Forse così funziona
Siano \(f,g \) due funzioni intere tale che per \( n \geq 3 \) abbiamo che \(f^n + g^n =1 \) allora abbiamo che dividendo per \(g^n \) otteniamo
\[ \left( \frac{f}{g} \right)^n + 1 = \frac{1}{g^n} \]
Dove \( \left( \frac{f}{g} \right) \) è meromorfa con poli gli zeri di \(g \). Inoltre abbiamo che poiché \(g^n \) è intera allora \( \frac{1}{g^n} \neq 0 \) pertanto \( \left( \frac{f}{g} \right)^n \neq -1 \) e poiché nel campo complesso \( -1 \) possiede \(n \) radici abbiamo che \( \frac{f}{g} \) omette \(n \) valori, denotiamo con \( z_1,\ldots,z_n \) questi valori.
Abbiamo inoltre che \( \frac{f}{g} - z_1 \) è pure meromorfa e non possiede zeri poiché \( \frac{f}{g} \neq z_1 \). Pertanto \[h(z):= \frac{1}{\frac{f}{g}(z) - z_1} \]
è intera e omette \( n-1 \) valori, ovvero omette \( \frac{1}{z_2-z_1} , \ldots, \frac{1}{z_n-z_1} \)
poiché \( n \geq 3 \) abbiamo che \( h(z) \) omette almeno 2 valori e dunque è costante per il teorema di Picard e concludiamo dunque che \( \frac{f}{g} \) è costante e pertanto \( kf(z)= g(z) \) per una qualche costante \( k \) e concludiamo che
\[ f^n + g^n = f^n + k^n f^n = f^n(k^n+1) = 1 \]
pertanto \( f^n \) è costante infatti
\[ f^n = \frac{1}{k^n +1} \]
Dunque \( f \) costante e \(g \) pure.
Siano \(f,g \) due funzioni intere tale che per \( n \geq 3 \) abbiamo che \(f^n + g^n =1 \) allora abbiamo che dividendo per \(g^n \) otteniamo
\[ \left( \frac{f}{g} \right)^n + 1 = \frac{1}{g^n} \]
Dove \( \left( \frac{f}{g} \right) \) è meromorfa con poli gli zeri di \(g \). Inoltre abbiamo che poiché \(g^n \) è intera allora \( \frac{1}{g^n} \neq 0 \) pertanto \( \left( \frac{f}{g} \right)^n \neq -1 \) e poiché nel campo complesso \( -1 \) possiede \(n \) radici abbiamo che \( \frac{f}{g} \) omette \(n \) valori, denotiamo con \( z_1,\ldots,z_n \) questi valori.
Abbiamo inoltre che \( \frac{f}{g} - z_1 \) è pure meromorfa e non possiede zeri poiché \( \frac{f}{g} \neq z_1 \). Pertanto \[h(z):= \frac{1}{\frac{f}{g}(z) - z_1} \]
è intera e omette \( n-1 \) valori, ovvero omette \( \frac{1}{z_2-z_1} , \ldots, \frac{1}{z_n-z_1} \)
poiché \( n \geq 3 \) abbiamo che \( h(z) \) omette almeno 2 valori e dunque è costante per il teorema di Picard e concludiamo dunque che \( \frac{f}{g} \) è costante e pertanto \( kf(z)= g(z) \) per una qualche costante \( k \) e concludiamo che
\[ f^n + g^n = f^n + k^n f^n = f^n(k^n+1) = 1 \]
pertanto \( f^n \) è costante infatti
\[ f^n = \frac{1}{k^n +1} \]
Dunque \( f \) costante e \(g \) pure.
Benissimo!!! 
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