Funzioni $C^1$
Ero incerto se postare qui o in Analisi di base, ala fine ho optato per qui, se ritenete che sia più appropriato in un'altra sezione spostate pure, ma veniamo al punto.
È piuttosto noto che nell'insieme delle funzioni $C^0(I)$, dove $I=[0,1]$, il sottoinsieme delle funzioni che sono derivabili in almeno un punto è di prima categoria (se dotiamo l'insieme con la topologia compatta-aperta o equivalentemente con la metrica del massimo del valore assoluto della differenza), quindi, in un qualche senso, è "piccolo".
Quello che mi sono chiesto è: se consideriamo l'insieme delle funzioni ${f:I->RR:f text{derivabile}}$, c'è un modo di "quantificare" quelle la cui derivata è continua in almeno un punto (o cose simili)?
Per "quantificare" intendo una cosa del tipo di quella che ho riportato, e con "o cose simili" intendo che magari tutte queste funzioni hanno derivata continua in almeno un punto (non ne ho idea) e allora può essere interessante modificare la proprietà in qualche modo (ad es. continua dappertutto, non so).
È piuttosto noto che nell'insieme delle funzioni $C^0(I)$, dove $I=[0,1]$, il sottoinsieme delle funzioni che sono derivabili in almeno un punto è di prima categoria (se dotiamo l'insieme con la topologia compatta-aperta o equivalentemente con la metrica del massimo del valore assoluto della differenza), quindi, in un qualche senso, è "piccolo".
Quello che mi sono chiesto è: se consideriamo l'insieme delle funzioni ${f:I->RR:f text{derivabile}}$, c'è un modo di "quantificare" quelle la cui derivata è continua in almeno un punto (o cose simili)?
Per "quantificare" intendo una cosa del tipo di quella che ho riportato, e con "o cose simili" intendo che magari tutte queste funzioni hanno derivata continua in almeno un punto (non ne ho idea) e allora può essere interessante modificare la proprietà in qualche modo (ad es. continua dappertutto, non so).
Risposte
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Solo per dire che ho aggiornato il link nel mio post precedente.
Riassumo quello che dice di interessante per la mia questione: le funzioni di Baire (cioè limiti puntuali di funzioni continue) hanno una quantità non numerabile di punti di continuità, e le derivate sono funzioni di Baire (questo come si dimostra?), dunque le derivate hanno una quantità di punti di continuità non numerabile, ciò mi permette di escludere riformulare la domanda così: "Tra tutte le funzioni derivabili, quante sono quelle $C^1$?", dove con quante intendo quello che avevo già detto nel primo post.
Le funzioni "Baire uno" sono i limiti puntuali di funzioni continue, e tutte le derivate sono Baire uno perché
\[
f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac1h (f(x+h)-f(x)), \]
e il membro destro è una famiglia di funzioni continue. Tutte le funzioni Baire uno sono "generalmente continue" (forse bisognerebbe dire "genericamente continue"), nel senso che l'insieme dei punti in cui non sono continue è piccolo nel senso di Baire (magro o di prima categoria, a seconda della notazione che preferisci). Nota che non è solo questione di cardinalità.
In particolare tutte le derivate sono generalmente continue, il che fornisce una risposta molto soddisfacente alla tua prima domanda.
Quanto al rilancio, mi sembra una domanda molto meno interessante e più difficile da formalizzare. Infatti non esiste sullo spazio vettoriale delle funzioni derivabili una topologia "naturale", e qui non trovo più il riferimento ma avevo visto del materiale sul tema.
Tutte cose poco interessanti, comunque. Molti dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale richiedono la continuità delle derivate, oppure la loro dimostrazione è enormemente più difficile senza questa richiesta (guarda qui per esempio). Perciò ha poco uso ricavare tante informazioni sulle funzioni differenziabili ma non differenziabili con continuità. Inoltre, la strada presa dall'analisi moderna per gestire le questioni di bassa regolarità è quella di considerare le derivate in qualche senso più generale, che permette di fare calcoli espliciti senza preoccuparsi troppo di giustificare la regolarità ad ogni passo. (Ci sono vari approcci possibili). Quindi una ricerca su questioni di derivabilità non continua è anche, in un certo senso, obsoleta.
In ogni caso sono sicuro che Monsieur Baire e i suoi adepti hanno trovato risposte a domande simili alla tua. Sicuramente ci saranno fior di articoli sulla categoria delle funzioni continue tra le funzioni Baire uno, e cose del genere. Come ti dicevo nel post sul teorema fondamentale dell'algebra, ti sconsiglierei di approfondire cose tanto astratte.
\[
f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac1h (f(x+h)-f(x)), \]
e il membro destro è una famiglia di funzioni continue. Tutte le funzioni Baire uno sono "generalmente continue" (forse bisognerebbe dire "genericamente continue"), nel senso che l'insieme dei punti in cui non sono continue è piccolo nel senso di Baire (magro o di prima categoria, a seconda della notazione che preferisci). Nota che non è solo questione di cardinalità.
In particolare tutte le derivate sono generalmente continue, il che fornisce una risposta molto soddisfacente alla tua prima domanda.
Quanto al rilancio, mi sembra una domanda molto meno interessante e più difficile da formalizzare. Infatti non esiste sullo spazio vettoriale delle funzioni derivabili una topologia "naturale", e qui non trovo più il riferimento ma avevo visto del materiale sul tema.
Tutte cose poco interessanti, comunque. Molti dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale richiedono la continuità delle derivate, oppure la loro dimostrazione è enormemente più difficile senza questa richiesta (guarda qui per esempio). Perciò ha poco uso ricavare tante informazioni sulle funzioni differenziabili ma non differenziabili con continuità. Inoltre, la strada presa dall'analisi moderna per gestire le questioni di bassa regolarità è quella di considerare le derivate in qualche senso più generale, che permette di fare calcoli espliciti senza preoccuparsi troppo di giustificare la regolarità ad ogni passo. (Ci sono vari approcci possibili). Quindi una ricerca su questioni di derivabilità non continua è anche, in un certo senso, obsoleta.
In ogni caso sono sicuro che Monsieur Baire e i suoi adepti hanno trovato risposte a domande simili alla tua. Sicuramente ci saranno fior di articoli sulla categoria delle funzioni continue tra le funzioni Baire uno, e cose del genere. Come ti dicevo nel post sul teorema fondamentale dell'algebra, ti sconsiglierei di approfondire cose tanto astratte.
"dissonance":
Le funzioni "Baire uno" sono i limiti puntuali di funzioni continue, e tutte le derivate sono Baire uno perché \[f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac1h (f(x+h)-f(x)), \] e il membro destro è una famiglia di funzioni continue.
Ma il limite puntuale non dovrebbe essere fatto su una successione di funzioni? Comunque ho capito il senso, direi che $\lim_{n->+\infty} n(f(x+1/n)-f(x))$ dovrebbe funzionare (perché sappiamo già che $f$ è derivabile naturalmente).
Tutte le funzioni Baire uno sono "generalmente continue" (forse bisognerebbe dire "genericamente continue"), nel senso che l'insieme dei punti in cui non sono continue è piccolo nel senso di Baire (magro o di prima categoria, a seconda della notazione che preferisci).
Personalmente preferisco di prima categoria.
Nota che non è solo questione di cardinalità.
Si si, lo so
In particolare tutte le derivate sono generalmente continue, il che fornisce una risposta molto soddisfacente alla tua prima domanda.
Vero.
Quanto al rilancio, mi sembra una domanda molto meno interessante e più difficile da formalizzare. Infatti non esiste sullo spazio vettoriale delle funzioni derivabili una topologia "naturale", e qui non trovo più il riferimento ma avevo visto del materiale sul tema.
Era quello che temevo.
Tutte cose poco interessanti, comunque. Molti dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale richiedono la continuità delle derivate, oppure la loro dimostrazione è enormemente più difficile senza questa richiesta (guarda qui per esempio). Perciò ha poco uso ricavare tante informazioni sulle funzioni differenziabili ma non differenziabili con continuità. Inoltre, la strada presa dall'analisi moderna per gestire le questioni di bassa regolarità è quella di considerare le derivate in qualche senso più generale, che permette di fare calcoli espliciti senza preoccuparsi troppo di giustificare la regolarità ad ogni passo. (Ci sono vari approcci possibili). Quindi una ricerca su questioni di derivabilità non continua è anche, in un certo senso, obsoleta.
In ogni caso sono sicuro che Monsieur Baire e i suoi adepti hanno trovato risposte a domande simili alla tua. Sicuramente ci saranno fior di articoli sulla categoria delle funzioni continue tra le funzioni Baire uno, e cose del genere.
Come ti dicevo nel post sul teorema fondamentale dell'algebra, ti sconsiglierei di approfondire cose tanto astratte.
Cercherò ti tenere a mente il tuo consiglio, grazie mille dell'interessamento.
@dissonance posso farti una domanda? (io te la faccio lo stesso 
)
Ormai ho capito che questo tipo di cose qui al giorno d'oggi è considerato obsoleto, come hai detto tu stesso, ma secondo te potrebbe andare bene come argomento per una tesi triennale (in particolare stavo pensando alle funzioni di Baire)?
)Ormai ho capito che questo tipo di cose qui al giorno d'oggi è considerato obsoleto, come hai detto tu stesso, ma secondo te potrebbe andare bene come argomento per una tesi triennale (in particolare stavo pensando alle funzioni di Baire)?
No no no, non ho detto che tutta la roba Baire è obsoleta. Assolutamente no. Se vai a qualche seminario di matematica è facile che tu trovi la parola "generic", si usa molto e nei contesti più disparati.
Quanto alla tesi, l'argomento che hai pensato va benissimo. Tieni però presente che la cosa più importante è che tu trovi qualcuno bravo o brava disposto a seguirti. Prova a proporre l'argomento a qualcuno che ti piace e che potrebbe essere interessato, e vedi che feedback ti da. (E non ti intestardire: se l'argomento da te proposto non piace, sii flessibile).
Quanto alla tesi, l'argomento che hai pensato va benissimo. Tieni però presente che la cosa più importante è che tu trovi qualcuno bravo o brava disposto a seguirti. Prova a proporre l'argomento a qualcuno che ti piace e che potrebbe essere interessato, e vedi che feedback ti da. (E non ti intestardire: se l'argomento da te proposto non piace, sii flessibile).
Grazie del consiglio.
https://math.stackexchange.com/q/2410910/8157
Questo ti può interessare. E poi c'è questo blog post di Terry Tao:
https://terrytao.wordpress.com/2009/02/ ... sequences/
che potrebbe essere un ottimo spunto per una tesi triennale. In effetti mi sembra un argomento in linea con (quelli che sembrano essere) i tuoi interessi, profondo, ma trattabile in un tempo relativamente breve. Hai avuto una buona idea.
Questo ti può interessare. E poi c'è questo blog post di Terry Tao:
https://terrytao.wordpress.com/2009/02/ ... sequences/
che potrebbe essere un ottimo spunto per una tesi triennale. In effetti mi sembra un argomento in linea con (quelli che sembrano essere) i tuoi interessi, profondo, ma trattabile in un tempo relativamente breve. Hai avuto una buona idea.
Grazie dei link, però nel primo a quanto vedo non gli hanno ancora risposto, magari quando gli risponderanno potrebbe interessarmi non poco.
Nel secondo c'è tanto materiale, a tal punto che per ora gli ho dato solamente un'occhiata di sfuggita, però non mi è parso che parlasse di funzioni di Baire (poi nei post di Tao generalmente ci capisco abbastanza poco).
Nel secondo c'è tanto materiale, a tal punto che per ora gli ho dato solamente un'occhiata di sfuggita, però non mi è parso che parlasse di funzioni di Baire (poi nei post di Tao generalmente ci capisco abbastanza poco).
Tra l'altro avevo letto che esistono delle funzioni che non sono di Baire per nessun ordinale, a me questa cosa piace un sacco vorrei riuscire a infilarcela in una eventuale tesi su questo argomento.
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