Funzioni armoniche e olomorfe.
Mi stavo domandando quanto segue:
Una funzione armonica su \( \mathbb{R}^2 \) limitata è costante? Da questo si può dedurre che una qualunque funzione intera il cui codominio è \( U \subsetneq \mathbb{C} \) che è un semplicemente connesso è costante? Mentre possiamo sempre trovare una funzione olomorfa \( f: U \to \mathbb{C} \) limitata e non costante?
Provo a dare delle dimostrazioni delle mie supposizioni:
Sia \( u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) armonica, allora è la parte reale di una funzione olomorfa intera \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \).
Abbiamo che \( e^{f(z)} \) è pure intera e poiché non si annulla mai lo è pure \( \frac{1}{e^{f(z)}} \) inoltre abbiamo che \( \left| \frac{1}{e^{f(z)}} \right| = \frac{1}{e^{\Re(f)}} \leq \frac{1}{e^M} \) pertanto \( f \) è costante per Liouville e dunque lo è \( u \).
Ora supponiamo che \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) intera, dove \(f(\mathbb{C})=U \) è un semplicemente connesso, allora esiste una mappa conforme \( \phi : f(\mathbb{C}) \to \mathbb{D} \) e in particolare abbiamo che \( \left| \Re( \phi \circ f) \right| < 1 \) dunque è costante e pertanto lo è \( f \).
Mentre \( f: U \to \mathbb{C} \) olomorfa, limitata e non costante, è sufficiente prendere una qualunque mappa conforme \( f: U \to \mathbb{D} \) la cui esistenza è garantita dal teorema delle mappe conformi di Riemann.
Una funzione armonica su \( \mathbb{R}^2 \) limitata è costante? Da questo si può dedurre che una qualunque funzione intera il cui codominio è \( U \subsetneq \mathbb{C} \) che è un semplicemente connesso è costante? Mentre possiamo sempre trovare una funzione olomorfa \( f: U \to \mathbb{C} \) limitata e non costante?
Provo a dare delle dimostrazioni delle mie supposizioni:
Sia \( u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) armonica, allora è la parte reale di una funzione olomorfa intera \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \).
Abbiamo che \( e^{f(z)} \) è pure intera e poiché non si annulla mai lo è pure \( \frac{1}{e^{f(z)}} \) inoltre abbiamo che \( \left| \frac{1}{e^{f(z)}} \right| = \frac{1}{e^{\Re(f)}} \leq \frac{1}{e^M} \) pertanto \( f \) è costante per Liouville e dunque lo è \( u \).
Ora supponiamo che \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) intera, dove \(f(\mathbb{C})=U \) è un semplicemente connesso, allora esiste una mappa conforme \( \phi : f(\mathbb{C}) \to \mathbb{D} \) e in particolare abbiamo che \( \left| \Re( \phi \circ f) \right| < 1 \) dunque è costante e pertanto lo è \( f \).
Mentre \( f: U \to \mathbb{C} \) olomorfa, limitata e non costante, è sufficiente prendere una qualunque mappa conforme \( f: U \to \mathbb{D} \) la cui esistenza è garantita dal teorema delle mappe conformi di Riemann.
Risposte
Secondo me è tutto corretto. Non capisco solo perché consideri \(\frac1{e^{f(z)}}\), non potevi ragionare direttamente su \(e^{f(z)}\)? Mi pare di si, ma comunque sono dettagli, il fatto che una funzione limitata e armonica su \(\mathbb R^n\) deve essere costante è vero, e ben noto, si chiama anch'esso "teorema di Liouville", che sorpresa.
Ho considerato \(1/e^f \) perché mi sono confuso.
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