Funzione olomrfa e iniettiva implica suriettiva.
Sia \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa iniettiva. Dimostra che è suriettiva.
Avete dei suggerimenti? non so da dove partire.
Avete dei suggerimenti? non so da dove partire.
Risposte
Forse...
Supponendo per assurdo che \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) iniettiva e olomorfa. Supponiamo per assurdo che \( f \) non è suriettiva. Allora abbiamo che \( f: \mathbb{C} \to f(\mathbb{C}) \subset \mathbb{C} \) è olomorfa e biiettiva. Inoltre credo ma non sono sicuro che \( f(\mathbb{C}) \) sia semplicemente connesso. Pertanto per il teorema della mappa conforme di Riemann abbiamo che esiste un biolomorfismo \( \varphi: f(\mathbb{C}) \to \mathbb{D} \) pertanto risulta che che abbiamo trovato una funzione intera \( \varphi \circ f\) tale che
\( \varphi \circ f : \mathbb{C} \to \mathbb{D} \) pertanto per il teorema di Liouville abbiamo che \( \varphi \circ f\) è costante, e siccome \( \varphi \) non è costante risulta che \( f \) è costante, contraddizione dell'iniettività di \( f \).
Supponendo per assurdo che \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) iniettiva e olomorfa. Supponiamo per assurdo che \( f \) non è suriettiva. Allora abbiamo che \( f: \mathbb{C} \to f(\mathbb{C}) \subset \mathbb{C} \) è olomorfa e biiettiva. Inoltre credo ma non sono sicuro che \( f(\mathbb{C}) \) sia semplicemente connesso. Pertanto per il teorema della mappa conforme di Riemann abbiamo che esiste un biolomorfismo \( \varphi: f(\mathbb{C}) \to \mathbb{D} \) pertanto risulta che che abbiamo trovato una funzione intera \( \varphi \circ f\) tale che
\( \varphi \circ f : \mathbb{C} \to \mathbb{D} \) pertanto per il teorema di Liouville abbiamo che \( \varphi \circ f\) è costante, e siccome \( \varphi \) non è costante risulta che \( f \) è costante, contraddizione dell'iniettività di \( f \).
Si, ma manca dimostrare che \(f(\mathbb C)\) è semplicemente connesso, e non so se sia vero anche se intuitivamente plausibile. Fatto quello il resto va bene.
"dissonance":
Si, ma manca dimostrare che \( f(\mathbb C) \) è semplicemente connesso, e non so se sia vero anche se intuitivamente plausibile.
Dovrebbe essere vero perché una mappa aperta, bigettiva e continua è omeomorfismo, e le funzioni olomorfe sono mappe aperte.
Voglio crederci, mi piace come soluzione. Però che facciamo se la derivata si annulla in qualche punto? Per avere il teorema della mappa aperta la derivata non si deve annullare mai.
"dissonance":
Voglio crederci, mi piace come soluzione. Però che facciamo se la derivata si annulla in qualche punto? Per avere il teorema della mappa aperta la derivata non si deve annullare mai.
Sono con il telefono e in un bar quindi perdonatemi se non uso LaTeX e se non verifico quanto sto per dire, ma mi pare che una funzione olomorfa e iniettiva forzi la derivata non nulla... potrei sbagliarmi però
"dissonance":
Voglio crederci, mi piace come soluzione. Però che facciamo se la derivata si annulla in qualche punto? Per avere il teorema della mappa aperta la derivata non si deve annullare mai.
Sinceramente non mi ricordo bene la dimostrazione, ma wiki non lo mette tra le ipotesi
Ragazzi mi sa che avete ragione. Il discorso sulla derivata che non si annulla è proprio della variabile reale, serve per il teorema della funzione inversa. Ma nel caso complesso, non ce n'è bisogno, tutte le applicazioni olomorfe non costanti sono aperte, anche se la derivata si annulla da qualche parte.
Quindi la dimostrazione è conclusa. Bene!
Quindi la dimostrazione è conclusa. Bene!
Perché se è una mappa aperta allora posso dire che \( f( \mathbb{C} ) \) è semplicemente connesso? Non posso solo dedurre che è aperto?
Edit:
Secondariamente ho trovato questa dimostrazione https://math.stackexchange.com/questions/1116076/injective-holomorphic-function-is-conformal-i-e-nonzero-derivative?rq=1
Ma non capisco un paio di passaggi.
-Perché \( f(z)- f(z_0) = a(z-z_0)^k + G(z) \) con \( a \neq 0 \) e \( k \geq 2 \) ??
-Perché \( \left| G(z) \right| < \left| F(z) \right| \) in un intorno sufficientemente piccolo di \( z_0 \) ?
- Perché \( F \) ha almeno due zeri nel cerchio? Uno è \( z_0 \) ma come faccio ad essere certo che esista \( z_1 \) nel cerchio tale che \( a(z_1-z_0)^k = \omega \) ?
Edit:
Secondariamente ho trovato questa dimostrazione https://math.stackexchange.com/questions/1116076/injective-holomorphic-function-is-conformal-i-e-nonzero-derivative?rq=1
Ma non capisco un paio di passaggi.
-Perché \( f(z)- f(z_0) = a(z-z_0)^k + G(z) \) con \( a \neq 0 \) e \( k \geq 2 \) ??
-Perché \( \left| G(z) \right| < \left| F(z) \right| \) in un intorno sufficientemente piccolo di \( z_0 \) ?
- Perché \( F \) ha almeno due zeri nel cerchio? Uno è \( z_0 \) ma come faccio ad essere certo che esista \( z_1 \) nel cerchio tale che \( a(z_1-z_0)^k = \omega \) ?
"3m0o":Questo lo avevi detto in un messaggio precedente. Essendo una mappa aperta e ingettiva, è un omeomorfismo.
Perché se è una mappa aperta allora posso dire che \( f( \mathbb{C} ) \) è semplicemente connesso? Non posso solo dedurre che è aperto?
"dissonance":
Questo lo avevi detto in un messaggio precedente. Essendo una mappa aperta e ingettiva, è un omeomorfismo.
No lo ha detto jinsang. Ed inoltre ha detto bigettiva non ingettiva.
Anche se \( f : \mathbb{C} \to f(\mathbb{C}) \) è bigettiva in quanto \( f \) ingettiva, pertanto se \( f \) è un omeomorfismo abbiamo che \( \mathbb{C} \) è semplicemente connesso dunque anche \( f(\mathbb{C} ) \) lo è!
Si, un omeomorfismo sulla propria immagine, intendo.
"dissonance":
Si, un omeomorfismo sulla propria immagine, intendo.
Okay ora ho capito, è un omeomorfismo in quanto \( f \) è continua (è olomorfa) e in quanto \( f^{-1} \) è continua poiché \( f \) è una mappa aperta!
"3m0o":
[quote="dissonance"]Si, un omeomorfismo sulla propria immagine, intendo.
Okay ora ho capito, è un omeomorfismo in quanto \( f \) è continua (è olomorfa) e in quanto \( f^{-1} \) è continua poiché \( f \) è una mappa aperta![/quote]
Esatto!
Poi hai capito la dimostrazione su MSE di quella cosa che dicevi (olomorfa iniettiva => la derivata non si annulla)?
E' carina.
"3m0o":
-Perché \( f(z)- f(z_0) = a(z-z_0)^k + G(z) \) con \( a \neq 0 \) e \( k \geq 2 \) ??
È semplicemente lo sviluppo di Taylor, \(k \neq 1 \) perché \( f'(z_0)=0 \) per ipotesi.
"3m0o":
-Perché \( \left| G(z) \right| < \left| F(z) \right| \) in un intorno sufficientemente piccolo di \( z_0 \) ?
Continuo a non capire.
"3m0o":
- Perché \( F \) ha almeno due zeri nel cerchio? Uno è \( z_0 \) ma come faccio ad essere certo che esista \( z_1 \) nel cerchio tale che \( a(z_1-z_0)^k = \omega \) ?
In primo luogo non è \(z_0 \).
Secondariamente continuo a non capire perché \( F \) possiede due zeri distinti
Abbiamo posto:
\[ f(z)-f(z_0)- \omega= F(z)+G(z) \\
F(z)=a(z-z_0)^k-\omega; \ \ \ \ G(z)=b(z-z_0)^{k+1}+...\]
Siccome \( |F(z_0)|=|\omega|>0 ; \ \ |G(z_0)|=0 \), per continuità vale \( |F(z)|>|G(z)| \) (*) in un intorno sufficientemente piccolo di $z_0$, lo prendo abbastanza piccolo da verificare anche che $f'(z)$ non si annulla tranne che in $z_0$. Ciò che mi interessa davvero però è che la disuguaglianza (*) valga sul bordo dell'intorno (wlog diciamo bordo di un dischetto di raggio $r$) perché voglio applicare il teorema di Rouché.
Adesso vale che $F(z)$ ha $k$ radici nel dischetto [nota]sto barando, il dischetto potrebbe essere troppo piccolo per contenerle, devo dimostrare che posso scegliere il dischetto tale che... a meno di modificare $\omega$[/nota], dunque per Rouché anche $f(z)-f(z_0)- \omega$ avrà altrettanti zeri e saranno distinti [nota]altrimenti assurdo sulla derivata[/nota], questo contraddice l'iniettività.
\[ f(z)-f(z_0)- \omega= F(z)+G(z) \\
F(z)=a(z-z_0)^k-\omega; \ \ \ \ G(z)=b(z-z_0)^{k+1}+...\]
Siccome \( |F(z_0)|=|\omega|>0 ; \ \ |G(z_0)|=0 \), per continuità vale \( |F(z)|>|G(z)| \) (*) in un intorno sufficientemente piccolo di $z_0$, lo prendo abbastanza piccolo da verificare anche che $f'(z)$ non si annulla tranne che in $z_0$. Ciò che mi interessa davvero però è che la disuguaglianza (*) valga sul bordo dell'intorno (wlog diciamo bordo di un dischetto di raggio $r$) perché voglio applicare il teorema di Rouché.
Adesso vale che $F(z)$ ha $k$ radici nel dischetto [nota]sto barando, il dischetto potrebbe essere troppo piccolo per contenerle, devo dimostrare che posso scegliere il dischetto tale che... a meno di modificare $\omega$[/nota], dunque per Rouché anche $f(z)-f(z_0)- \omega$ avrà altrettanti zeri e saranno distinti [nota]altrimenti assurdo sulla derivata[/nota], questo contraddice l'iniettività.
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