Funzione meromorfa i cui poli sono \(n^2 \)
Trova una funzione meromorfa su \( \mathbb{C} \) tale che \( n^2 \) è un polo di ordine 4 per ogni \( n \in \mathbb{N} \).
Io ho pensato a questa funzione vi sembra corretto?
Poniamo \( f : \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{C} \) come, dove con la notazione \( \mathbb{Z}^2 \) intendo tutti gli interi che sono quadrati perfetti.
\[f(z) = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{\infty} \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \]
Dimostriamo che \( f \) converge uniformemente su ogni compatto di \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \), e dunque che converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \).
Chiaramente abbiamo che \( z = n^2 \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \) è un polo di ordine 4. Se la funzione \( f \) converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \) allora è olomorfa, pertanto meromorfa su \( \mathbb{C} \).
Consideriamo dunque le bande della forma \( [a,b] \times i \mathbb{R} \) otteniamo che su
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \]
abbiamo che \[ \frac{1}{\left|(n^2 - z)^4\right| }\leq \frac{1}{\left|(n^2 - b)^4\right| } \]
E per una qualche costante \(k \) ed \(n \) sufficientemente grande abbiamo che
\[\frac{1}{\left|(n^2 - b)^4\right| } \leq \frac{1}{k\left|n^8\right| } \]
pertanto
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \left| \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \right| \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \frac{1}{\left|(n^2 - b)^4\right| } \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \frac{1}{kn^8 } < \infty \]
In modo analogo per
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (-\infty,a)}^{\infty} \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \]
Pertanto \( f \) converge uniformemente su tutte le bande, e dunque converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \), dunque \( f \) è olomorfa in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \)
Io ho pensato a questa funzione vi sembra corretto?
Poniamo \( f : \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{C} \) come, dove con la notazione \( \mathbb{Z}^2 \) intendo tutti gli interi che sono quadrati perfetti.
\[f(z) = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{\infty} \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \]
Dimostriamo che \( f \) converge uniformemente su ogni compatto di \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \), e dunque che converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \).
Chiaramente abbiamo che \( z = n^2 \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \) è un polo di ordine 4. Se la funzione \( f \) converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \) allora è olomorfa, pertanto meromorfa su \( \mathbb{C} \).
Consideriamo dunque le bande della forma \( [a,b] \times i \mathbb{R} \) otteniamo che su
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \]
abbiamo che \[ \frac{1}{\left|(n^2 - z)^4\right| }\leq \frac{1}{\left|(n^2 - b)^4\right| } \]
E per una qualche costante \(k \) ed \(n \) sufficientemente grande abbiamo che
\[\frac{1}{\left|(n^2 - b)^4\right| } \leq \frac{1}{k\left|n^8\right| } \]
pertanto
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \left| \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \right| \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \frac{1}{\left|(n^2 - b)^4\right| } \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)}^{\infty} \frac{1}{kn^8 } < \infty \]
In modo analogo per
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (-\infty,a)}^{\infty} \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \]
Pertanto \( f \) converge uniformemente su tutte le bande, e dunque converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \), dunque \( f \) è olomorfa in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \)
Risposte
La notazione \(\mathbb Z^2\) è molto infelice, perché di solito \(\mathbb Z^2=\{(a, b)\ :\ a, b\in\mathbb Z\}\).
Comunque lo svolgimento mi pare corretto
Comunque lo svolgimento mi pare corretto
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