Funzione \(L^2\) è Holder continua.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Voglio dimostrare che per $\alpha \in (0,1)$ e $f \in L^2(S^1) $ tale che \[ \sum_{ 2^j \leq \left| n \right| < 2^{j+1}} \left| n \right|^{\alpha} \left| c_n \right| \leq C \]
uniformemente in $j$ e $c_n$ sono i coefficienti della trasformata di fourier $f$ allora $f$ è $\alpha$-Holder.

Pensavo di fare così
\[ \left| f(x) - f(y) \right| \leq \lim_{N \to \infty} \sum_{ \left| n \right| < N} \left| e^{2 \pi inx} - e^{2\pi iny} \right| \left| c_n \right| \leq \ldots \leq \left| x-y \right|^{\alpha} \sum_{ 2^j \leq \left| n \right| < 2^{j+1}} \left| n \right|^{\alpha} \left| c_n \right| \]
ma sono bloccato

Qualche suggerimento?

[Wilde1]

Guardando solo quello che hai scritto, direi che basta mostrare che la funzione $g(x)=e^{2\pi i nx}$ è $alpha$-Holderiana su $S^1$ o che è lipschitziana

[pilloeffe]

Ciao 3m0o,

"3m0o": [...] i coefficienti della trasformata di fourier $f$ [...]

[...] della serie di Fourier (in forma complessa)...