Funzione iniettiva e intera che fissa due punti allora è l'identità
Dimostra che l'identità è l'unica funzione intera e iniettiva che conserva l'origine e un altro punto.
La mia idea è questa
Lemma 1:
Ogni funzione olomorfa \( g: \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) che possiede due punti fissi distinti è la funzione identità sul disco unitario.
Siano \(z_1,z_2 \) i due punti fissi, poniamo \[ h (z):= \frac{z - z_1}{1-\overline{z_1}z} \]
Siccome \( h \) è una trasformazione di Mobius dal disco aperto \( \mathbb{D} \) al disco aperto \( \mathbb{D} \) abbiamo che è una mappa conforme.
Siccome \( h(z_1) = 0 \) abbiamo che \( h^{-1}(0)=z_1 \) pertanto abbiamo che \( h^{-1} \circ g \circ h \) possiede due punti fissi, il primo è l'orgine infatti \[ (h \circ g \circ h^{-1})(0)= (h\circ g )(z_1) = h(z_1)=0 \]
e il secondo è \( h(z_2) \)
\[ (h \circ g \circ h^{-1})(h(z_2))= (h^{-1} \circ g )(z_2) = h(z_2) \]
Pertanto per il Lemma di Schwarz abbiamo che \( h \circ g \circ h^{-1} \) è una rotazione, infatti \( h \circ g \circ h^{-1} \) possiede come punto fisso l'origine ed esiste un altro punto, \( h(z_2) \), tale che \[ \left| (h \circ g \circ h^{-1})(h(z_2)) \right| = \left| h(z_2) \right| \]
L'unica rotazione che fissa due punti è l'identità, pertanto abbiamo che \( h \circ g \circ h^{-1} \) è l'identità, pertanto abbiamo che \( g= \operatorname{id}_{\mathbb{D}} \)
Siano \( 0, z_0 \in \mathbb{C} \) i due punti fissi di \( f \), funzione intera.
Sia \(f_U \) la restrizione di \( f \) ad \(U \), \( f_U: U \to U \), dove \( U \) è un insieme semplicemente connesso diverso da \( \mathbb{C} \) contenente sia \(0 \) che \(z_1 \), per il teorema delle mappe conformi di Riemann esiste una mappa conforme biolomorfa \( \varphi: U \to \mathbb{D} \), pertanto \( \varphi \circ f_U \circ \varphi^{-1} : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è olomorfa, inoltre abbiamo che \( \varphi(0) \) e \( \varphi(z_0) \) sono punti fissi di \( \varphi \circ f_U \circ \varphi^{-1} \).
Pertanto per lemma 1 abbiamo che \( \varphi \circ f_U \circ \varphi^{-1} = \operatorname{id}_{\mathbb{D}} \),
segue che \( f_U = \operatorname{id}_{U} \).
Siccome \( f = \operatorname{id}_{U} \) su \( U \) allora per il principio del prolungamento analitico abbiamo che \( f = \operatorname{id}_{\mathbb{C}} \).
Edit: L'unico problema è che credo io non possa considerare \( f_U : U \to U \) perché nulla mi assicura che le immagini per \( f \) di \( U \) siano contenute in \( U \).
La mia idea è questa
Lemma 1:
Ogni funzione olomorfa \( g: \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) che possiede due punti fissi distinti è la funzione identità sul disco unitario.
Siano \(z_1,z_2 \) i due punti fissi, poniamo \[ h (z):= \frac{z - z_1}{1-\overline{z_1}z} \]
Siccome \( h \) è una trasformazione di Mobius dal disco aperto \( \mathbb{D} \) al disco aperto \( \mathbb{D} \) abbiamo che è una mappa conforme.
Siccome \( h(z_1) = 0 \) abbiamo che \( h^{-1}(0)=z_1 \) pertanto abbiamo che \( h^{-1} \circ g \circ h \) possiede due punti fissi, il primo è l'orgine infatti \[ (h \circ g \circ h^{-1})(0)= (h\circ g )(z_1) = h(z_1)=0 \]
e il secondo è \( h(z_2) \)
\[ (h \circ g \circ h^{-1})(h(z_2))= (h^{-1} \circ g )(z_2) = h(z_2) \]
Pertanto per il Lemma di Schwarz abbiamo che \( h \circ g \circ h^{-1} \) è una rotazione, infatti \( h \circ g \circ h^{-1} \) possiede come punto fisso l'origine ed esiste un altro punto, \( h(z_2) \), tale che \[ \left| (h \circ g \circ h^{-1})(h(z_2)) \right| = \left| h(z_2) \right| \]
L'unica rotazione che fissa due punti è l'identità, pertanto abbiamo che \( h \circ g \circ h^{-1} \) è l'identità, pertanto abbiamo che \( g= \operatorname{id}_{\mathbb{D}} \)
Siano \( 0, z_0 \in \mathbb{C} \) i due punti fissi di \( f \), funzione intera.
Sia \(f_U \) la restrizione di \( f \) ad \(U \), \( f_U: U \to U \), dove \( U \) è un insieme semplicemente connesso diverso da \( \mathbb{C} \) contenente sia \(0 \) che \(z_1 \), per il teorema delle mappe conformi di Riemann esiste una mappa conforme biolomorfa \( \varphi: U \to \mathbb{D} \), pertanto \( \varphi \circ f_U \circ \varphi^{-1} : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è olomorfa, inoltre abbiamo che \( \varphi(0) \) e \( \varphi(z_0) \) sono punti fissi di \( \varphi \circ f_U \circ \varphi^{-1} \).
Pertanto per lemma 1 abbiamo che \( \varphi \circ f_U \circ \varphi^{-1} = \operatorname{id}_{\mathbb{D}} \),
segue che \( f_U = \operatorname{id}_{U} \).
Siccome \( f = \operatorname{id}_{U} \) su \( U \) allora per il principio del prolungamento analitico abbiamo che \( f = \operatorname{id}_{\mathbb{C}} \).
Edit: L'unico problema è che credo io non possa considerare \( f_U : U \to U \) perché nulla mi assicura che le immagini per \( f \) di \( U \) siano contenute in \( U \).
Risposte
Penso sia più corretto in questo modo e nell'altro credo sia errato.
Sia \( f \) una funzione intera iniettiva tale che \( f(0)=0 \) e \( f(z_0)=z_0 \neq 0 \).
Per il piccolo teorema di Picard, che afferma che una funzione \( f \) intera che non è un polinomio prende tutti i valori del piano complesso un infinita di volte ad eccezione di un valore al massimo.
Abbiamo che una funzione intera e iniettiva è necessariamente un polinomio \(p(z) \) inoltre è della forma \( f(z) = az + b \) con \( a \in \mathbb{C}^* \) e \( b \in \mathbb{C} \) poiché la derivata di una funzione olomorfa iniettiva non si annulla pertanto se \( \deg p \geq 2 \) abbiamo che \( \deg p' \geq 1 \) e pertanto possiede almeno uno zero per il teorema fondamentale dell'algebra. Dunque \( f(z)=az+b \).
Inoltre siccome \( f(0) = 0 \) abbiamo che \( b = 0 \) e poiché \( f(z_0) = z_0 \) abbiamo che \( a= 1 \).
Sia \( f \) una funzione intera iniettiva tale che \( f(0)=0 \) e \( f(z_0)=z_0 \neq 0 \).
Per il piccolo teorema di Picard, che afferma che una funzione \( f \) intera che non è un polinomio prende tutti i valori del piano complesso un infinita di volte ad eccezione di un valore al massimo.
Abbiamo che una funzione intera e iniettiva è necessariamente un polinomio \(p(z) \) inoltre è della forma \( f(z) = az + b \) con \( a \in \mathbb{C}^* \) e \( b \in \mathbb{C} \) poiché la derivata di una funzione olomorfa iniettiva non si annulla pertanto se \( \deg p \geq 2 \) abbiamo che \( \deg p' \geq 1 \) e pertanto possiede almeno uno zero per il teorema fondamentale dell'algebra. Dunque \( f(z)=az+b \).
Inoltre siccome \( f(0) = 0 \) abbiamo che \( b = 0 \) e poiché \( f(z_0) = z_0 \) abbiamo che \( a= 1 \).
"3m0o":
Penso sia più corretto in questo modo e nell'altro credo sia errato.
[...]
Abbiamo che una funzione intera e iniettiva è necessariamente un polinomio \(p(z) \) inoltre è della forma \( f(z) = az + b \) con \( a \in \mathbb{C}^* \) e \( b \in \mathbb{C} \) [...]
Certo, una volta che hai stabilito questo sei in discesa, ma questo non mi sembra minimamente ovvio. I teoremi di Picard, per come li ho letti su wikipedia, sono un pochino diversi:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... _de_Picard
Il teorema della funzione che assume infinite volte ogni valore non è il piccolo, ma il grande, e prevede che ci sia una singolarità essenziale.
Comunque, non so se tu abbia sbagliato, ma mi sembrano due svolgimenti molto interessanti.
Il primo svolgimento è corretto per quanto riguarda il disco unitario, e anzi mi piace pure. Però effettivamente non puoi assumere che f:U -> U. Non saprei proprio come si possa salvare, peccato, è più geometrico e mi piace di più che usando Picard.
Strano il mio libro "Analyse complexe" di Jacques Douchet, dice
Grande teorema di Picard:
Sia \(f \) una funzione olomorfa in \( D(z_0,R) \setminus \{z_0\}\) che ammette una singolarità essenziale isolata in \(z_0 \). Allora \( f \) raggiunge in \( D(z_0,R) \setminus \{z_0\}\) un infinità di volte tutti i valori del piano complesso ad eccezione di uno al massimo.
Piccolo teorema di Picard:
Sia \(f \) una funzione intera che non è un polinomio. Allora \(f \) prende tutti i valori del piano complesso un infinità di volte ad eccezione di uno al massimo.
Edit: in effetti tutte le funzioni intere \(f \) che non sono polinomi possiedono una singolarità essenziale all'infinito. Poiché posto
\[ f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n \]
abbiamo che \( f \) non essendo un polinomio allora per un infinità di \( n \), abbiamo che \( a_n \neq 0 \) dunque definendo \( g : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \) come
\[ g(z) = f\left(\frac{1}{z}\right) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{z^n} =: \sum\limits_{n=0}^{\infty} \tilde{a}_{-n}z^{-n}\]
ora abbiamo che \(g \) è olomorfa su \( \mathbb{C}^* \) e ammette una singolarità essenziale isolata in \( 0 \) poiché vi sono un infinità di \( \tilde{a}_{-n} \neq 0 \) e dopo l'applicazione del grande teorema di Picard concludiamo!
Grande teorema di Picard:
Sia \(f \) una funzione olomorfa in \( D(z_0,R) \setminus \{z_0\}\) che ammette una singolarità essenziale isolata in \(z_0 \). Allora \( f \) raggiunge in \( D(z_0,R) \setminus \{z_0\}\) un infinità di volte tutti i valori del piano complesso ad eccezione di uno al massimo.
Piccolo teorema di Picard:
Sia \(f \) una funzione intera che non è un polinomio. Allora \(f \) prende tutti i valori del piano complesso un infinità di volte ad eccezione di uno al massimo.
Edit: in effetti tutte le funzioni intere \(f \) che non sono polinomi possiedono una singolarità essenziale all'infinito. Poiché posto
\[ f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n \]
abbiamo che \( f \) non essendo un polinomio allora per un infinità di \( n \), abbiamo che \( a_n \neq 0 \) dunque definendo \( g : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \) come
\[ g(z) = f\left(\frac{1}{z}\right) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{z^n} =: \sum\limits_{n=0}^{\infty} \tilde{a}_{-n}z^{-n}\]
ora abbiamo che \(g \) è olomorfa su \( \mathbb{C}^* \) e ammette una singolarità essenziale isolata in \( 0 \) poiché vi sono un infinità di \( \tilde{a}_{-n} \neq 0 \) e dopo l'applicazione del grande teorema di Picard concludiamo!
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