Funzione di Green dell'equazione di Helmholtz non omogenea

[siddy98]

Nei problemi di elettrodinamica ci si imbatte spesso nell'equazione di Helmholtz non omogenea, $$(\nabla^2+k^2) f(\textbf{x}) = s(\textbf{x}) $$ dove in genere $f$ rappresente un potenziale e $s$ una densità di corrente.
Per risolverla, si applica di solito il metodo della funzione di Green; ovvero si trova una funzione $G(x,x')$ tale che $$(\nabla^2+k^2) G(\textbf{x},\textbf{x'}) = \delta(\textbf{x}-\textbf{x'}) $$ Ora, il mio libro di testo, il Jackson, dice che "se non vi sono superfici di confine, la funzione di Green può dipendere soltanto da $R = x − x_0$, e deve essere in effetti a simmetria sferica, ossia deve dipendere soltanto da $R = |R|$."

Francamente non ho afferrato questa spiegazione.
Il fatto che la funzione di Green debba essere a simmetria sferica è un requisito "fisico" (ossia, facendo questa ipotesi, intuitiva e ragionevole, si ottengono le soluzioni vere, cioè sperimentalmente verificate) oppure si può dimostrare matematicamente che deve essere così? E se così fosse, come si potrebbe procedere?

Ringrazio in anticipo tutti per le eventuali risposte

[dissonance]

La funzione di Green non è, in generale, unica. Prendi il caso più semplice, k=0. Presa una funzione di Green, sommando una funzione armonica si ottiene un'altra funzione di Green. Quindi non è che uno sia obbligato a cercare una funzione di Green a simmetria radiale, se uno lo fa è per semplicità.

[siddy98]

"dissonance":Prendi il caso più semplice, k=0. Presa una funzione di Green, sommando una funzione armonica si ottiene un'altra funzione di Green.

Giusto, non ci avevo pensato. Allora immagino che questa scelta si faccia semplicemente perché, così, funziona.
Grazie!