Funzione ausiliaria per integrale coi residui

[melusina89]

Ciao a tutti, sto provando a risolvere l'integrale \( \int_0^\infty \frac{1+x}{1+x^6}\ \text{d} x \) con il metodo dei residui, prendendo come dominio quello allegato in figura.
Il problema è che non riesco a trovare una funzione ausiliaria \(f(z) \) adatta. Come devo fare? Qual è la funzione giusta?

[spugna2]

Io ho fatto così:

$\int_0^{+oo} {1+x}/{1+x^6} dx=\int_0^{+oo} 1/{1+x^6} dx+\int_0^{+oo} x/{1+x^6} dx$

Per il primo, dato che la funzione è pari, è come integrare su tutta la retta reale e dividere per $2$, e a questo punto si può prendere la funzione $f(z)=1/{1+z^6}$ e integrare su delle semicirconferenze.

Il secondo è $1/2 \int_0^{+oo} {2xdx}/{1+(x^2)^3}=1/2 \int_0^{+oo} {dy}/{1+y^3}$, che si può fare anche restando nei reali (se c'è un modo per farlo con i residui non me lo ricordo).

[melusina89]

Ah grazie, non ci avevo pensato! Mi hai dato una buona idea!

[gugo82]

Trucchi a parte, la giusta funzione ausiliaria per il calcolo dell'integrale in campo complesso è:
\[
f(z):=\frac{1+z}{1+z^6}\ \log z
\]
ed il giusto contorno è il bordo di una corona circolare di raggi \(0

Questa tecnica funziona sia per calcolare integrali del tipo:
\[
\intop_0^{+\infty} \frac{p(x)}{q(x)}\ \text{d}x
\]
quando l'integrando non è pari, sia per quelli del tipo:
\[
\intop_0^{+\infty} \frac{p(x)\ \log x}{q(x)}\ \text{d}x
\]
(nel qual caso nella funzione ausiliaria complessa compare un $log^2 z$).