Funzione armonica

[alfiere15]

Buonasera! Un esercizio mi chiede di dimostrare che data $f(x,y)= \log(x^2+y^2)$ essa sia armonica ma che non esiste una funzione $g \in H(\Omega \setminus {0})$ tale che $\Re(g) = f$
Ho provato già che è armonica. Il mio problema è la seconda richiesta. Avevo pensato che il teorema che mi assicura l’esistenza di $g$ richiede che $\Omega$ sia semplicemente connesso, cosa non vera per $\Omega \setminus {0}$. Ma questo non basta per giungere alla tesi del teorema... come posso procedere?

[dissonance]

Intanto, ovviamente, devi assumere per assurdo che una tale \(g\) esista e arrivare ad una contraddizione.

Proverei a sviluppare \(g\) in serie di Laurent:
\[
g(z)= \ldots + \frac{c_{-k}}{z^k} + \frac{c_{-k+1}}{z^{k-1}} + \ldots + \frac{c_{-1}}{z}+ c_0 + c_1z + c_2z^2+\ldots\]
Intorno a \(z=0\) questa funzione non può esplodere con un ordine solo logaritmico, perché tutte le potenze hanno esponente intero. Chissà se basta questo a concludere...?

[gugo82]

Potresti pure provare a cercare l'armonica coniugata di $f$ e vedere cosa ne viene fuori...

Tanti saluti dal mare.

[alfiere15]

"gugo82":Potresti pure provare a cercare l'armonica coniugata di $ f $ e vedere cosa ne viene fuori...

Tanti saluti dal mare.

Ho determinato l'armonica coniugata $v$, con le condizioni di Cauchy-Riemann, e ho ottenuto $ v = - 2 arctan (x/y) + c, c \in RR$
Ma questa non è olomorfa (non è definita) non solo nell'origine ma in tutto $y = 0$. E così concludo. Giusto?

[gugo82]

Più o meno sì.

D'altra parte, non mi sorprende, visto che la tua $f$ è la parte reale della funzione $2"Log" z$, che ha per parte immaginaria $2"arg" z$ ed è polidroma ad infinite determinazioni.