Funzione a quadrato sommabile

[tgrammer]

data $ f:[-π,π]->C $ con $ C $ campo complesso, si definisce $ phi (f)(x)=f(2arctan(x))√((2)/(1+x^2)) $ .
mostrare che $ phi $ è un operatore da $ L^2([-π, π] $ ) a $ L^2(R) $ ovvero se $ f(t) $ è una funzione a quadrato sommabile di $ t∈[-π,π] $ allora $ phi (f)(x) $ è una funzione a quadrato sommabile di $ x∈R $. mostrare inoltre che $ phi $ preserva il prodotto scalare.

sulla base di un esercizio svolto in precedenza penso che si debba procedere calcolando il prodotto scalare $ (phi (f),phi (g))_{L^2(R) $ tra $ f,g∈L^2([-π,π] $ ). faccio quindi il cambio di variabile $ t=2arctan(x) $ .

però potreste spiegarmi per favore il motivo per cui procediamo a calcolare questo prodotto scalare? cioè, come arriviamo a dimostrare quello che chiede questo esercizio?

[otta96]

"tgrammer":mostrare inoltre che $ phi $ preserva il prodotto scalare.

Fa parte dell'esercizio.

[tgrammer]

sì, ma non capisco come mai anche $ phi (f)(x) $ è a quadrato sommabile ("preservare" il prodotto scalare cosa significa concretamente?)

[otta96]

"tgrammer":"preservare" il prodotto scalare cosa significa concretamente?

Significa che vale $(\phi(f),\phi(g))_(L^2(RR))=(f,g)_(L^2[-\pi, \pi])$. Si dice anche che $\phi$ è un'isometria. Se hai dimostrato questo puoi concludere che $(\phi(f),\phi(f))_(L^2(R))=(f,f)_(L^2[-\pi, \pi])$, da cui $f\inL^2(RR)=>\phi(f)\inL^2[-pi,pi]$.