Funzionale su spazio di Hilbert

[Dal2]

Dato il funzionale $ F: l^2(C) |-> C $ con $ F({a_(n)})=sum_(n = 1) ^(M)(a_n/sqrt(n)) $ ,dove $ l^2(C) $ è lo spazio delle successioni di numeri complessi $ {a_(n)}_(n=1)^(+∞) $ tali che $ sum_(n= 1) ^(+∞)|| a_n||^2 <∞ $, mi viene chiesto di determinare se è continuo su $ l^2(C) $, per M finito o infinito. Per M finito ho concluso che è continuo, ma per M infinito non so come procedere, non riesco a trovare un controesempio ma nemmeno a usare qualche diseguaglianza in modo efficace.
La definizione di continuità che ho utilizziato è la seguente:
$ AA epsilon>0 , EE delta >0 $ tale che $ AA {b_(n,k)}_(n=1)^(+∞) $ tale che $ || b_(n,k)-a_n||_(l^2(C))^2=||b_(n,k)-a_k||^2 , AAn $ per k grande ottengo $ ||b_(n,k)-a_k||^2 Voi sapete dirmi se è continuo o meno per M infinito?

[gugo82]

Che roba è $M$? Immagino un numero naturale.

Poiché $F$ è lineare, ti basta mostrare che esso è limitato: quindi lascia perdere i $delta$ e gli $ epsilon$ e concentrati sulle maggiorazioni in norma.
Che $F$ sia continuo per $M$ finito è semplice da dimostrare (puoi usare maggiorazioni semplici).
Per $M=oo$, invece, non mi sembra nemmeno che $F$ sia definito su tutto \(\ell^2\)... Ad esempio, se prendi $a_n:= 1/(sqrt(n) log n)$ hai \((a_n) \in \ell^2\) e però la serie che esprime formalmente $F(a_n)$, cioè $sum 1/(n log n)$, diverge.
Ti pare?

[Dal2]

Sì, M è un numero naturale, è nascosto sopra ad alcune sommatorie. Grazie mille, potrei pensarlo come ad un controesempio