Fourier

[tgrammer]

in un esercizio in cui $ F[g] $ è la trasformata di Fourier della funzione theta di heaviside $ g(t)=theta(T_2-|t|) $ ho appuntato che $ omega^kF[g](omega) $ per $ k=1 $ non è una trasformata di Fourier perchè non tende a 0 nel limite $ omega->oo $
volevo chiedervi se è corretto quello che ho scritto

[dissonance]

Insomma, proprio corretto non è. La trasformata di Fourier *di una funzione $L^1(\mathbb R)$* tende a zero a infinito; questo si chiama “lemma di Riemann-Lebesgue”. Ma se fai la trasformata di Fourier di una funzione non $L^1$, o di una distribuzione, non c’è nessun obbligo di tendere a 0 a infinito. Per favore, rispondi alla seguente domanda, facile; qual è la trasformata di Fourier della \(\delta\) di Dirac?

[tgrammer]

ma in tal caso la funzione è $ L^1 $ , o sbaglio?
comunque, per rispondere alla tua domanda, dovrebbe essere $ F[delta_{x_0}](y)=e^{ix_0y) $ giusto?
non riesco a capire il perchè della tua domanda però

[dissonance]

Esatto, prendiamo \(x_0=0\) così la trasformata vale \(1\). Ti sembra che la funzione \(1\) tenda a \(0\) ad infinito?

Con questo esempio voglio dimostrare che non sempre una trasformata di Fourier tende a zero. Questo succede per funzioni in $L^1$ (ricordo che $f\in L^1(\mathbb R)$ se e solo se \(\int_{-\infty}^\infty \lvert f(x)\rvert\, dx \) è convergente), ma non in generale.

[tgrammer]

ti ringrazio