Formula asintotica per la derivata logaritmica di Gamma.
Sia \( \epsilon > 0 \). Dimostra che per \( \left| \arg s \right| \leq \pi - \epsilon \) risulta che
\[ \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)} = \log s - \frac{1}{2s} + O \left( \frac{1}{\left| s \right|^2 } \right) \]
Hint: One may try to use Cauchy's integral formula.
Allora le soluzioni dicono questo, nello step 2 ho un dubbio soltanto nell'ultimo passaggio. E nella conclusione non capisco un paio di disuguaglianze che fa.
Step 1:
Dimostriamo che per \( \left| \arg ( s) \right| \leq \pi - \epsilon \) risulta che
\[ \log \Gamma(s) = \left( s-\frac{1}{2} \right) \log s - s + \frac{ \log 2 \pi }{ 2 } + \int_0^{\infty} \frac{\psi(\xi)}{\xi + s} d \xi \]
dove \( \psi (\xi ) = \begin{bmatrix} \xi \end{bmatrix} - \xi + \frac{1}{2} \).
Sia dunque
\[ J_N(s):= \int_0^{N} \frac{\psi(\xi)}{\xi + s } d \xi \]
supponiamo \( s \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] \) abbiamo allora che
\[ J_N(s) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_n^{n+1} \left( \frac{n + s + \frac{1}{2}}{\xi + s} -1 \right) d \xi = \sum_{n=0}^{N-1} \left( n + s + \frac{1}{2} \right) \left( \log(n+s+1) - \log(n+s) \right) - N \]
\[ = \sum_{n=0}^{N-1} \left( \left( n + s + \frac{1}{2} \right) \log(n+s+1) - \left( n + s + \frac{1}{2} \right) \log(n+s) \right) - N\]
\[ = \sum_{n=0}^{N-1} \left( \left( n + 1 + s - \frac{1}{2} \right) \log(n+s+1) - \left( n + s - \frac{1}{2} \right) \log(n+s) \right) - \sum_{n=0}^{N-1} \log(n+s) - N\]
abbiamo ora che la prima somma è telescopica dunque
\[ = \left( N + s - \frac{1}{2} \right) \log(N+s) - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log(s) - \sum_{n=0}^{N-1} \log(n+s) - N \]
\[ = \left( N + s - \frac{1}{2} \right) \log(N+s) - \left( s + \frac{1}{2} \right) \log(s) - \sum_{n=1}^{N-1} \log(n+s) - N \]
A questo punto calcoliamo
\[ N + \sum_{n=1}^{N-1}\log(n+s) = N+ \sum_{n=1}^{N-1} \log(n) + \log\left( 1 + \frac{n}{s} \right) \]
\[ = N + \log((N-1)!) + \sum_{n=1}^{N-1} \left( \log \left( 1 + \frac{n}{s} \right) - \frac{n}{s} \right) + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{n}{s} \]
utilizzando la formula di Stirling, i.e. \( n! \sim \sqrt{2 \pi n } \frac{n^n}{e^n} \), abbiamo che
\[ N + \log((N-1)!) = N + (N-1) \log(N-1) - (N-1) + \frac{1}{2} \log(2\pi) + \frac{1}{2} \log(N-1) = \left(N-\frac{1}{2} \right) \log(N-1) + \frac{1}{2} \log(2\pi) = \left(N-\frac{1}{2} \right) \log(N) + \frac{1}{2} \log(2\pi) + o(1) \]
Ora riscriviamo i termini in altro modo (controverso...)
\[ \left( N + s - \frac{1}{2} \right) \log(N+s) = \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log\left(1 + \frac{s}{N} \right) + \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log N \]
e
\[ - \left( s+ \frac{1}{2} \right) \log s = - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log s - \log s \]
Riordinando i pezzi in modo astuto (ci ho messo un sacco a vederlo) otteniamo dunque
\[ I_N^{(1)}(s) := \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log\left(1 + \frac{s}{N} \right) - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log s + \left( N- \frac{1}{2} \right) \log N - \left( N- \frac{1}{2} \right) \log N - \frac{\log(2\pi)}{2} = \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log\left(1 + \frac{s}{N} \right) - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log s - \frac{\log(2\pi)}{2} \]
\[ I_N^{(2)}(s) := - \sum_{n=1}^{N-1} \left( \log \left( 1 + \frac{n}{s} \right) - \frac{n}{s} \right) - \sum_{n=1}^{N-1} \frac{n}{s} - \log s + s \log N \]
abbiamo inoltre che
\[ \frac{1}{\Gamma(s)} = s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{s}{n} \right) e^{-s /n} \]
prendendo il \( \log \) abbiamo
\[ - \log \Gamma (s) = \log(s) + \gamma s + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \log \left( 1 + \frac{n}{s} \right) \right) \]
ricordandosi inoltre che
\[ \gamma = \lim_{N \to \infty} \left( - \log N + \displaystyle{\sum_{n=1}^{N-1}} \frac{1}{n} \right) \]
otteniamo che
\[ \log \Gamma(s) = \lim_{N \to \infty} I_N^{(2) } \]
e per contro chiaramente abbiamo che
\[ \lim_{N \to \infty} I_N^{(1)}(s) = s - \left(s-\frac{1}{2} \right) \log s - \frac{\log 2 \pi}{2} \]
abbiamo allora che
\[ \log \Gamma(s) = \left(s - \frac{1}{2} \right) \log s - s + \frac{\log 2 \pi }{2} + I(s) \]
dove \[ I(s) : = \int_0^{\infty} \frac{\psi(\xi)}{\xi + s} d \xi \]
Step 2:
\( I (s ) \) converge assolutamente e definisce una funzione olomorfa su \( \left| \arg s \right| \leq \pi - \epsilon \).
Abbiamo che ponendo
\[ \Psi(\xi) := \int_{0}^{\xi} \psi(t) dt \]
risulta che \( \Psi(\xi) \ll 1 \), infatti integrando per parti
\[ \int_0^{\infty} \frac{\psi(\xi)}{\xi+s} d\xi = \int_{0}^{\infty} \frac{\Psi(\xi)}{(\xi+s)^2} d\xi \ll \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\left| \xi + s \right|^2 } d\xi \]
inoltre ponendo \( \alpha := \arg s \) quindi con \( \left| \alpha \right| \leq \pi - \epsilon \) abbiamo che
\[ I(s) \ll \frac{1}{\left| s \right|} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\left| \xi + e^{i \alpha} \right| } d\xi \]
\[ \ll \frac{1}{\left| s \right|} \left( \displaystyle{\int_0^3} \frac{1}{\left| \Im (e^{i \epsilon} ) \right|} + \displaystyle{\int_3^{\infty}} \frac{1}{(\xi-2)^2} \right) \ll \frac{1}{\left| s \right|} \]
L'ultimo passaggio non lo capisco ovvero quando splitta l'integrale in \( \int_0^3 + \int_3^{\infty} \).
Conclusione:
Qui non capisco questo:
\( \left| z-s \right| = \left| s \right|/2 \) allora \( \left| z \right| \geq \left| s \right| /2 \)
e nemmeno questo
\[ \left| I'(s) \right| \leq C \frac{1}{2\pi} \cdot 2 \pi \cdot \frac{ \left| s \right|}{2} \frac{ 2/\left| s \right|}{(\left| s \right|/2)^2} \]
Siccome \( I(s) \) è olomorfa abbiamo che
\[ \log \Gamma(s) - \left( \left(s - \frac{1}{2} \right) \log s - s + \frac{\log 2 \pi }{2} \right) = I(s) \]
è olomorfa nella regione. Pertanto usando la formula integrale di Cauchy abbiamo che
\[ I'(s) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{I(z)}{(z-s)^2} dz \]
dove \( \gamma \) è un laccetto centrato in \( s \) e di raggio \( \left| s \right| /2 \). Pertanto \( \left| z-s \right| = \left| s \right|/2 \) allora \( \left| z \right| \geq \left| s \right| /2 \). Dunque
\[ \left| I'(s) \right| \leq C \frac{1}{2\pi} \cdot 2 \pi \cdot \frac{ \left| s \right|}{2} \frac{ 2/\left| s \right|}{(\left| s \right|/2)^2} \leq C \frac{1}{\left|s \right|^2} \]
Nell'ultimo ho capito che \( C = \max_{ z \in \gamma} \left| I(z) \right| \), mentre \( 2 \pi \cdot \frac{ \left| s \right|}{2} \) è la lunghezza del laccetto. Minora nell'integrale \( \frac{1}{\left| z- s \right|^2} \) con \( \frac{1}{(\left| s \right|/2)^2} \) ma c'è un fattore \( 2/\left| s \right| \) che mi è oscuro...
\[ \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)} = \log s - \frac{1}{2s} + O \left( \frac{1}{\left| s \right|^2 } \right) \]
Hint: One may try to use Cauchy's integral formula.
Allora le soluzioni dicono questo, nello step 2 ho un dubbio soltanto nell'ultimo passaggio. E nella conclusione non capisco un paio di disuguaglianze che fa.
Step 1:
Dimostriamo che per \( \left| \arg ( s) \right| \leq \pi - \epsilon \) risulta che
\[ \log \Gamma(s) = \left( s-\frac{1}{2} \right) \log s - s + \frac{ \log 2 \pi }{ 2 } + \int_0^{\infty} \frac{\psi(\xi)}{\xi + s} d \xi \]
dove \( \psi (\xi ) = \begin{bmatrix} \xi \end{bmatrix} - \xi + \frac{1}{2} \).
Sia dunque
\[ J_N(s):= \int_0^{N} \frac{\psi(\xi)}{\xi + s } d \xi \]
supponiamo \( s \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] \) abbiamo allora che
\[ J_N(s) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_n^{n+1} \left( \frac{n + s + \frac{1}{2}}{\xi + s} -1 \right) d \xi = \sum_{n=0}^{N-1} \left( n + s + \frac{1}{2} \right) \left( \log(n+s+1) - \log(n+s) \right) - N \]
\[ = \sum_{n=0}^{N-1} \left( \left( n + s + \frac{1}{2} \right) \log(n+s+1) - \left( n + s + \frac{1}{2} \right) \log(n+s) \right) - N\]
\[ = \sum_{n=0}^{N-1} \left( \left( n + 1 + s - \frac{1}{2} \right) \log(n+s+1) - \left( n + s - \frac{1}{2} \right) \log(n+s) \right) - \sum_{n=0}^{N-1} \log(n+s) - N\]
abbiamo ora che la prima somma è telescopica dunque
\[ = \left( N + s - \frac{1}{2} \right) \log(N+s) - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log(s) - \sum_{n=0}^{N-1} \log(n+s) - N \]
\[ = \left( N + s - \frac{1}{2} \right) \log(N+s) - \left( s + \frac{1}{2} \right) \log(s) - \sum_{n=1}^{N-1} \log(n+s) - N \]
A questo punto calcoliamo
\[ N + \sum_{n=1}^{N-1}\log(n+s) = N+ \sum_{n=1}^{N-1} \log(n) + \log\left( 1 + \frac{n}{s} \right) \]
\[ = N + \log((N-1)!) + \sum_{n=1}^{N-1} \left( \log \left( 1 + \frac{n}{s} \right) - \frac{n}{s} \right) + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{n}{s} \]
utilizzando la formula di Stirling, i.e. \( n! \sim \sqrt{2 \pi n } \frac{n^n}{e^n} \), abbiamo che
\[ N + \log((N-1)!) = N + (N-1) \log(N-1) - (N-1) + \frac{1}{2} \log(2\pi) + \frac{1}{2} \log(N-1) = \left(N-\frac{1}{2} \right) \log(N-1) + \frac{1}{2} \log(2\pi) = \left(N-\frac{1}{2} \right) \log(N) + \frac{1}{2} \log(2\pi) + o(1) \]
Ora riscriviamo i termini in altro modo (controverso...)
\[ \left( N + s - \frac{1}{2} \right) \log(N+s) = \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log\left(1 + \frac{s}{N} \right) + \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log N \]
e
\[ - \left( s+ \frac{1}{2} \right) \log s = - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log s - \log s \]
Riordinando i pezzi in modo astuto (ci ho messo un sacco a vederlo) otteniamo dunque
\[ I_N^{(1)}(s) := \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log\left(1 + \frac{s}{N} \right) - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log s + \left( N- \frac{1}{2} \right) \log N - \left( N- \frac{1}{2} \right) \log N - \frac{\log(2\pi)}{2} = \left( N+s- \frac{1}{2} \right) \log\left(1 + \frac{s}{N} \right) - \left( s - \frac{1}{2} \right) \log s - \frac{\log(2\pi)}{2} \]
\[ I_N^{(2)}(s) := - \sum_{n=1}^{N-1} \left( \log \left( 1 + \frac{n}{s} \right) - \frac{n}{s} \right) - \sum_{n=1}^{N-1} \frac{n}{s} - \log s + s \log N \]
abbiamo inoltre che
\[ \frac{1}{\Gamma(s)} = s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{s}{n} \right) e^{-s /n} \]
prendendo il \( \log \) abbiamo
\[ - \log \Gamma (s) = \log(s) + \gamma s + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \log \left( 1 + \frac{n}{s} \right) \right) \]
ricordandosi inoltre che
\[ \gamma = \lim_{N \to \infty} \left( - \log N + \displaystyle{\sum_{n=1}^{N-1}} \frac{1}{n} \right) \]
otteniamo che
\[ \log \Gamma(s) = \lim_{N \to \infty} I_N^{(2) } \]
e per contro chiaramente abbiamo che
\[ \lim_{N \to \infty} I_N^{(1)}(s) = s - \left(s-\frac{1}{2} \right) \log s - \frac{\log 2 \pi}{2} \]
abbiamo allora che
\[ \log \Gamma(s) = \left(s - \frac{1}{2} \right) \log s - s + \frac{\log 2 \pi }{2} + I(s) \]
dove \[ I(s) : = \int_0^{\infty} \frac{\psi(\xi)}{\xi + s} d \xi \]
Step 2:
\( I (s ) \) converge assolutamente e definisce una funzione olomorfa su \( \left| \arg s \right| \leq \pi - \epsilon \).
Abbiamo che ponendo
\[ \Psi(\xi) := \int_{0}^{\xi} \psi(t) dt \]
risulta che \( \Psi(\xi) \ll 1 \), infatti integrando per parti
\[ \int_0^{\infty} \frac{\psi(\xi)}{\xi+s} d\xi = \int_{0}^{\infty} \frac{\Psi(\xi)}{(\xi+s)^2} d\xi \ll \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\left| \xi + s \right|^2 } d\xi \]
inoltre ponendo \( \alpha := \arg s \) quindi con \( \left| \alpha \right| \leq \pi - \epsilon \) abbiamo che
\[ I(s) \ll \frac{1}{\left| s \right|} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\left| \xi + e^{i \alpha} \right| } d\xi \]
\[ \ll \frac{1}{\left| s \right|} \left( \displaystyle{\int_0^3} \frac{1}{\left| \Im (e^{i \epsilon} ) \right|} + \displaystyle{\int_3^{\infty}} \frac{1}{(\xi-2)^2} \right) \ll \frac{1}{\left| s \right|} \]
L'ultimo passaggio non lo capisco ovvero quando splitta l'integrale in \( \int_0^3 + \int_3^{\infty} \).
Conclusione:
Qui non capisco questo:
\( \left| z-s \right| = \left| s \right|/2 \) allora \( \left| z \right| \geq \left| s \right| /2 \)
e nemmeno questo
\[ \left| I'(s) \right| \leq C \frac{1}{2\pi} \cdot 2 \pi \cdot \frac{ \left| s \right|}{2} \frac{ 2/\left| s \right|}{(\left| s \right|/2)^2} \]
Siccome \( I(s) \) è olomorfa abbiamo che
\[ \log \Gamma(s) - \left( \left(s - \frac{1}{2} \right) \log s - s + \frac{\log 2 \pi }{2} \right) = I(s) \]
è olomorfa nella regione. Pertanto usando la formula integrale di Cauchy abbiamo che
\[ I'(s) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{I(z)}{(z-s)^2} dz \]
dove \( \gamma \) è un laccetto centrato in \( s \) e di raggio \( \left| s \right| /2 \). Pertanto \( \left| z-s \right| = \left| s \right|/2 \) allora \( \left| z \right| \geq \left| s \right| /2 \). Dunque
\[ \left| I'(s) \right| \leq C \frac{1}{2\pi} \cdot 2 \pi \cdot \frac{ \left| s \right|}{2} \frac{ 2/\left| s \right|}{(\left| s \right|/2)^2} \leq C \frac{1}{\left|s \right|^2} \]
Nell'ultimo ho capito che \( C = \max_{ z \in \gamma} \left| I(z) \right| \), mentre \( 2 \pi \cdot \frac{ \left| s \right|}{2} \) è la lunghezza del laccetto. Minora nell'integrale \( \frac{1}{\left| z- s \right|^2} \) con \( \frac{1}{(\left| s \right|/2)^2} \) ma c'è un fattore \( 2/\left| s \right| \) che mi è oscuro...
Risposte
"3m0o":
Nell'ultimo ho capito che \( C = \max_{ z \in \gamma} \left| I(z) \right| \), mentre \( 2 \pi \cdot \frac{ \left| s \right|}{2} \) è la lunghezza del laccetto. Minora nell'integrale \( \frac{1}{\left| z- s \right|^2} \) con \( \frac{1}{(\left| s \right|/2)^2} \) ma c'è un fattore \( 2/\left| s \right| \) che mi è oscuro...
Forse il fattore a me oscuro arriva dal fatto che è abbiamo dimostrato essere \( I(z) \ll \frac{1}{\left|z \right|} \). E dall'altra disuguaglianza che non capivo. Cioé da \( I(z) \ll \frac{1}{\left|z \right| }\) e \( \left| z \right| \geq \left| s \right| /2 \).
Perché cribbio l'altra disuguaglianza è una s3zata....basta fare un disegnino!!
Ok allora solo l'ultimo passaggio dello step 2 non capisco.
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