Flusso (definizioni)
Ciao 
Vorrei chiedere una mano riguardo le seguenti definizioni, in particolare sul secondo modo di vedere le cose.
Non riesco cioè a capacitarmi cosa voglia dire che la mappa è un omomorfismo di gruppo e la mappa suddetta è in una azione di gruppo.
Perché l'azione di gruppo richiederebbe un gruttp G e un insieme A $GxA->A$, non vedo senso nel $Gx\Phi->?$, $\Phi$ è una mappa..
Grazie per l'aiuto.
Vorrei chiedere una mano riguardo le seguenti definizioni, in particolare sul secondo modo di vedere le cose.
Non riesco cioè a capacitarmi cosa voglia dire che la mappa è un omomorfismo di gruppo e la mappa suddetta è in una azione di gruppo.
Perché l'azione di gruppo richiederebbe un gruttp G e un insieme A $GxA->A$, non vedo senso nel $Gx\Phi->?$, $\Phi$ è una mappa..
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Il gruppo è \((\mathbb R, +)\).
Sicuramente l'affermazione in questione è un po' alla buona. Infatti, se \(\Phi\colon \mathbb{R}\to \mathrm{Diff}(M)\) allora non si può avere che \(\Phi\colon \mathbb{R}\times M \to M\).
D'altra parte, ogni elemento di \(\mathrm{Diff}(M)\) è una funzione da \(M\) a \(M\), quindi all'omomorfismo di gruppi \(\Phi\) possiamo associare l'azione di gruppi \(\tilde{\Phi}\colon \mathbb{R}\times M \to M\) definita come \(\tilde{\Phi}\colon (r, m) \mapsto \Phi_r(m)\) dove ho usato il pedice per indicare \(\Phi(r)\) per semplificare la notazione. Il libro usa la stessa notazione per entrambe.
D'altra parte, ogni elemento di \(\mathrm{Diff}(M)\) è una funzione da \(M\) a \(M\), quindi all'omomorfismo di gruppi \(\Phi\) possiamo associare l'azione di gruppi \(\tilde{\Phi}\colon \mathbb{R}\times M \to M\) definita come \(\tilde{\Phi}\colon (r, m) \mapsto \Phi_r(m)\) dove ho usato il pedice per indicare \(\Phi(r)\) per semplificare la notazione. Il libro usa la stessa notazione per entrambe.
Grazie mille!
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