\( f \circ f \) ha punti fissi se \(f\) intera.

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Dimostra che se \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) è intera allora \( f \circ f \) ha un punto fisso tranne quando \(f(z)=z+b \) per qualche \(b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \).

Io ho fatto in un modo diverso dalle correzioni e mi chiedevo se andasse bene.

Claim 1: Se \( f \circ f \) non ha punti fissi allora \(f\) è iniettiva.
Possiamo supporre \(f\) non costante siccome una funzione costante ha sempre uno e un solo punto fisso.
Supponiamo che \(f\) non sia iniettiva. Allora esistono \(z_1, z_2 \in \mathbb{C} \) distinti tale che \(f(z_1)=f(z_2) \). Siccome \(f\) è intera per il piccolo teorema di Picard abbiamo che \(f(\mathbb{C}) \) è tutto \( \mathbb{C} \) oppure \( \mathbb{C} \setminus \{ z_0 \} \) dove \(z_0 \in \mathbb{C} \) possibilmente \(z_0 = z_1 \) oppure \(z_0 = z_2 \). Allora possiamo supporre senza perdita di generalità che \( z_1 \in f(\mathbb{C}) \). In tal caso esiste \( \omega \in \mathbb{C} \) tale che \( f(\omega)=z_1 \). Pertanto risulta che
\[ f(f(\omega))=f(z_1)=f(z_2) \]
da cui segue che \( z_2 = f(\omega) = z_1 \). Assurdo.

Abbiamo dunque che se \( f\) è intera e \( f \circ f \) non possiede punti fissi allora \( f \) è iniettiva. Per il teorema di Picard abbiamo che \(f\) è un polinomio poiché altrimenti prenderebbe tutti i valori del piano complesso, tranne al più uno, un infintià di volte. Inoltre siccome una funzione iniettiva e olomorfa possiede derivata non nulla risulta che \( f(z) = az+b \) con \(a \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \) e \(b \in \mathbb{C} \). Siccome \( f \circ f \) non possiede punti fissi concludiamo che \( a= 1 \) e \(b \neq 0 \).

Vi sembra funzionare?

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No... non posso concludere che \(f(\omega) = z_2 \) se \(f\) è non iniettiva per ipotesi.