[Ex] Operatore in spazio di Banach

[Bremen000]

Questo è un esercizio molto standard che però, secondo me, tocca diversi aspetti della teoria. Non so quanti frequentatori del forum stiano preparando un esame di analisi reale / funzionale ma penso che possa essere utile. Insomma, non voletemene se non vi piace

Esercizio
Sia \( X = C([-1,1]) \) dotato della norma del massimo. Sia \( T: X \to X \) definito come

\[ Tu(t) = \int_{-1}^t \frac{2s}{1+s^2} u(s) ds \quad \quad u \in X \]

1. Dimostrare che $T$ è lineare e continuo. Calcolarne la norma.

2. $T$ è compatto?

3. $T$ ha autovalori? Se si, calcolarli.

4. $T$ è suriettivo?

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda la norma:

Parte 1

$||Tu(t)||=max|\int_{-1}^{t}(2s)/(1+s^2)u(s)ds| lt=$

$lt= max\int_{-1}^{t}|(2s)/(1+s^2)||u(s)|ds lt=$

$lt= max\int_{-1}^{t}|(2s)/(1+s^2)|ds lt=$

$lt= 2\int_{0}^{1}(2s)/(1+s^2)ds=2log2$

Parte 2

Funzione dispari

1. $[-1 lt= t lt= -1/n] rarr [u_n(t)=-1]$

2. $[-1/n lt t lt 1/n] rarr [u_n(t)=nt]$

3. $[1/n lt= t lt= 1] rarr [u_n(t)=1]$

Funzione pari non negativa

$[-1 lt= t lt= 1] rarr [f_n(t)=(2t)/(1+t^2)u_n(t)]$

Funzione non decrescente non negativa

$[-1 lt= t lt= 1] rarr [Tu_n(t)=\int_{-1}^{t}f_n(s)ds]$

Massimo

$[t=1] rarr$

$rarr [Max=2\int_{0}^{1}f_n(t)dt] rarr$

$rarr [Max=2\int_{0}^{1/n}(2nt^2)/(1+t^2)dt+2\int_{1/n}^{1}(2t)/(1+t^2)dt] rarr$

$rarr [Max=4n\int_{0}^{1/n}(1-1/(1+t^2))dt+4\int_{1/n}^{1}t/(1+t^2)dt] rarr$

$rarr [Max=4n[1/n-arctg(1/n)]+2log2-2log(1+1/n^2)] rarr$

$rarr [Max=4-4narctg(1/n)+2log2-2log(1+1/n^2)]$

Limite del massimo

$lim_(n->+oo)[4-4narctg(1/n)+2log2-2log(1+1/n^2)]=2log2$

[Bremen000]

[anonymous_0b37e9]

Meno male. Non essendo molto esperto, mi chiedevo se esistono procedimenti più immediati.

[Bremen000]

Non credere che io sia esperto! Il primo punto l’ho fatto esattamente come te e direi che è la prassi in questi casi!

[Sk_Anonymous]

"anonymous_0b37e9":Meno male. Non essendo molto esperto, mi chiedevo se esistono procedimenti più immediati.

In realtà tutti quei calcoli probabilmente non ti servivano, bastava osservare che il \( \sup \) è raggiunto dalla funzione segno, che non è continua, ma che è arbitrariamente approssimabile con funzioni continue.

[Bremen000]

Come vedi c'è chi è esperto!

[otta96]

"Delirium":\( \sup \) è raggiunto dalla funzione segno, che non è continua, ma che è arbitrariamente approssimabile con funzioni continue.

Ma ne sei sicuro? Come faresti?

[Sk_Anonymous]

"otta96":[quote="Delirium"]\( \sup \) è raggiunto dalla funzione segno, che non è continua, ma che è arbitrariamente approssimabile con funzioni continue.

Ma ne sei sicuro? Come faresti?[/quote]
Tangente iperbolica? Arcotangente? In senso distribuzionale. Ma in realtà non serve nemmeno specificare in quale senso (ovviamente non nella sup-norma, ma non l'ho mai detto), basta prendere una successione \( f_n \) che si comporti "quasi come il gradino", i.e. che valga \( 1 \) in \( [1/n, 1]\), \(-1 \) in \( [-1,-1/n] \) e qualcos'altro \(\in [-1,1] \) nel mezzo...

[otta96]

"Delirium":ovviamente non nella sup-norma

Ah ecco, era quella la cosa che non mi tornava, allora direi che va bene $f_n(x)=arctan(nx)$.
Però non è un problema il fatto che nell'esercizio ci si stesse riferendo alla norma del sup? Perché?

[Sk_Anonymous]

"otta96":[...]
Ah ecco, era quella la cosa che non mi tornava, allora direi che va bene $f_n(x)=arctan(nx)$.
Però non è un problema il fatto che nell'esercizio ci si stesse riferendo alla norma del sup? Perché?

Perché l'unica cosa che ci interessa, in questo frangente, è che esista un successione di funzioni \( \{f_n\}_{n \in \mathbb{N} } \subseteq C([-1,1]) \) con \( \|f_n\|_\infty \le 1 \) tale che \( \|T f_n \|_\infty \to 2 \log 2 \) (che l'upper bound che ha trovato Sergeant_Elias). Vedi come è definita la norma operatoriale. E' più chiaro?

[Sk_Anonymous]

Comunque sì mi sembra compatto per Ascoli-Arzelà.

[Bremen000]

Esattamente.

[Bremen000]

Punti 3 e 4:

3. No (Sono conti e potrei averli sbagliati tutti)
4. No : \( T(X) \subseteq AC([-1,1]) \subsetneq C([-1,1]) = X \)