[Ex]-Limiti negli spazi Lp.

[Mathita]

Vorrei proporre un bell'esercizio tratto da un esame di Analisi 3 dell'Università di Roma Tor Vergata.

Siano $f(x)$ una funzione di $L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, $A_{t}=\{x\in\mathbb{R}^{n} : |x_{1}|\le t\}$ per ogni $t>0.$

Dimostrare che $$F(t)=\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus A_{t}}|f(x)|^2\mbox{d}x$$ è una funzione ben posta e calcolare i limiti $\lim_{t\to 0^{+}}F(t)$ e $\lim_{t\to +\infty}F(t).$

Per favore, se usate teoremi poco noti, riportatene l'enunciato (se poi riportate anche un rifermento in cui c'è la dimostrazione, vi meriterete il bacio accademico!): non tocco TdM da un bel po' e ho praticamente dimenticato il 70% degli enunciati.

[jinsang]

Faccio un tentativo.

Buona definizione:

Poiché \( f \in L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^\infty(\mathbb{R}^n) \) per la disuguaglianza di Holder vale che \(|f|^2 \) è sommabile e in particolare \[ \| f \|_2^2=\int_{\mathbb{R}^n} |f|^2 \leq \| f \|_1 \| f \|_\infty \]Ora siccome \( F(t) \leq \| f \|_2^2 \) abbiamo che $F:RR->RR$ è una funzione ben posta.

Limiti:

Usiamo il teorema di convergenza dominata.
Osservo prima di tutto che: \[ F(t)= \int_{\mathbb{R}^n-A_t} |f|^2 = \int_{\mathbb{R}^n} |f|^2 \mathbb{I}_{\mathbb{R}^n-A_t} \] Pongo: \[ g_k (x)=|f(x)|^2 \mathbb{I}_{\mathbb{R}^n-A_{t_k}}(x) \] Così che: \[ F(t_k)= \int_{\mathbb{R}^n} g_k \] Ora se \( t_k \rightarrow 0 \) per \( k \rightarrow \infty \) vediamo che \( g_k \rightarrow |f|^2 \) puntualmente q.o. (mi rimane fuori l'insieme \( \{ x \in \mathbb{R}^n | x_1=0 \} \) che ha misura nulla...) inoltre è dominata da $|f|^2$ quindi per convergenza dominata:
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} F(t_k)= \lim_{k \rightarrow \infty} \int_{\mathbb{R}^n} g_k = \int_{\mathbb{R}^n} \lim_{k \rightarrow \infty} g_k = \int_{\mathbb{R}^n} |f|^2= \| f \|_2^2 \] Poiché ciò vale per qualsiasi successione \( t_k \rightarrow 0 \) se ne deduce \( \lim_{t \rightarrow 0} F(t)= \| f \|_2^2 \).

Ragionando allo stesso modo si ha che se \( t_k \rightarrow \infty \) allora \( g_k \rightarrow 0 \) e quindi per convergenza dominata (con dominazione $|f|^2$) si ottiene \( \lim_{t \rightarrow +\infty} F(t)= 0 \).

[EDIT] Corretti dei typo segnalati da Mathita [/EDIT]

[Mathita]

Eccellente jinsang. Molto bene!

[jinsang]

[Mathita]

[ot]@jinsang, ti ho inviato un messaggio privato[/ot]