Ex. Importanza delle ipotesi di "regolarità" della frontiere per ottenere risultati di densità in spazi di Sobolev
Vorrei chiedervi come risolvereste questo esercizio:
Sia $\Omega=(-1,0)\cup(0,1)$ e sia
\[
u(x):=
\begin{cases}
1 \quad x>0\\
0 \quad x<0.
\end{cases}
\]
Provare che $u\in W^{m,p}(\Omega)$ per ogni $m\in Z_+$ and $1\le p\le \infty$, ma che non può essere approssimata da funzioni in $C^\infty(\bar{\Omega})$.
Io dovrei averlo già risolto e volevo chiedervi una conferma della soluzione
Ho pensato però (essendo un esercizio "classico") che per qualcuno che si sta approcciando agli spazi di Sobolev come me, potrebbe essere interessante.
Nel caso non ci fosse nessuno in questa situazione proporrò la mia soluzione.
Sia $\Omega=(-1,0)\cup(0,1)$ e sia
\[
u(x):=
\begin{cases}
1 \quad x>0\\
0 \quad x<0.
\end{cases}
\]
Provare che $u\in W^{m,p}(\Omega)$ per ogni $m\in Z_+$ and $1\le p\le \infty$, ma che non può essere approssimata da funzioni in $C^\infty(\bar{\Omega})$.
Io dovrei averlo già risolto e volevo chiedervi una conferma della soluzione
Ho pensato però (essendo un esercizio "classico") che per qualcuno che si sta approcciando agli spazi di Sobolev come me, potrebbe essere interessante.
Nel caso non ci fosse nessuno in questa situazione proporrò la mia soluzione.
Risposte
Ciao, prova a mettere quello che hai fatto tu e ne discutiamo!
E' un esercizio classico; mostra che il teorema di Meyers-Serrin non vale piu' se si richiede \( C^\infty (\overline{\Omega})\) invece di \( C^\infty (\Omega)\) (senza ulteriori ipotesi su \( \Omega \), il Leoni riporta anche una versione rilassata di Meyers-Serrin, ma ovviamente bisogna assumere che \( \Omega \) abbia la "proprieta' del segmento").
Non mi ricordo come si faccia, ma immagino che si parta assumendo l'esistenza di una tale successione approssimante e si concluda dimostrando che qualcosa va storto.
Non mi ricordo come si faccia, ma immagino che si parta assumendo l'esistenza di una tale successione approssimante e si concluda dimostrando che qualcosa va storto.
@Delirium: l'esercizio proposto serve proprio a fornire il controesempio esplicito di cui tu parli. Fai molto prima a costruire questo controesempio che a spulciare tutta quella bibliografia.
Occhio alla visione nozionistica della matematica, una trappola tipica di cui ha studiato in Italia (lo so, perché lo provo sulla mia pelle).
Occhio alla visione nozionistica della matematica, una trappola tipica di cui ha studiato in Italia (lo so, perché lo provo sulla mia pelle).
"dissonance":
@Delirium: l'esercizio proposto serve proprio a fornire il controesempio esplicito di cui tu parli. Fai molto prima a costruire questo controesempio che a spulciare tutta quella bibliografia.
Occhio alla visione nozionistica della matematica, una trappola tipica di cui ha studiato in Italia (lo so, perché lo provo sulla mia pelle).
Guarda che intendevo la stessa cosa, il soggetto di "mostra" e' "l'esercizio". Non era un'esortazione.
"Delirium":
Guarda che intendevo la stessa cosa, il soggetto di "mostra" e' "l'esercizio". Non era un'esortazione.
Ah ok.
Volevo mettere la risposta gia' l'altro ieri ma nello scrivere la soluzione mi sono accorto che c'era un errore ( non ricordavo con precisione la definizione di convergenza uniforme, meglio, la ricordavo sbagliata).
Durante la notte ho pensato di fare cosi':
1. $u\in C^\infty(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ e $u^{(n)}\equiv 0\quad\foralln\ge1$, allora segue che $u\in W^{m,p}(\Omega)$.
2. Supponiamo per assurdo che $\exists g_n\in C^\infty([-1,1])$ t.c.
\[
g_n\to u \quad \text{ in } W^{m,p}(\Omega)
\]
Quindi in particolare
\[
g_n\to u\quad \text{ in } L^p(\Omega) \quad \quad g'_n\to 0\quad \text{ in } L^p(\Omega).
\]
Allora esiste una estratta t.c.
\[
g_{n_k}\to u \quad q.o
\]
Quindi dato che gli elementi della successione sono in $C^\infty$ la convergenza e' puntuale ("su ogni punto")
(questo ultimo passaggio mi preoccupa un po').
Ora notiamo che (indico co $g_n$ l'estratta)
\[
\left(\int_\Omega|g'_n|^p\ dx\right)^\frac{1}{p}\ge c \int_\Omega|g'_n| dx
\]
\[
\ge c|\int_{-1}^1 g'_n(x)\ dx| = c |g_n(1)-g_n(-1)|>c\frac{1}{2} \quad \quad \text{per} n>n_0.
\]
Assurdo perche' $g'_n\to 0$ in $L^p$.
Allora abbiamo la tesi.
Spero sia giusta, (ho qualche dubbio sul passaggio che ho indicato).
Vedendo la soluzione di dissonance mi chiedo come mai non non riesca a fare mai una dimostrazione cosi' pulita, rischiando di fare invece molti passaggi dove spesso si nasconde qualche errore.
Cmq sicuramente tengo la tua dimostrazione, grazie mille.
A breve mi sa che arrivero' con un altro esercizio sullo stesso argomento.
Durante la notte ho pensato di fare cosi':
1. $u\in C^\infty(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ e $u^{(n)}\equiv 0\quad\foralln\ge1$, allora segue che $u\in W^{m,p}(\Omega)$.
2. Supponiamo per assurdo che $\exists g_n\in C^\infty([-1,1])$ t.c.
\[
g_n\to u \quad \text{ in } W^{m,p}(\Omega)
\]
Quindi in particolare
\[
g_n\to u\quad \text{ in } L^p(\Omega) \quad \quad g'_n\to 0\quad \text{ in } L^p(\Omega).
\]
Allora esiste una estratta t.c.
\[
g_{n_k}\to u \quad q.o
\]
Quindi dato che gli elementi della successione sono in $C^\infty$ la convergenza e' puntuale ("su ogni punto")
(questo ultimo passaggio mi preoccupa un po').
Ora notiamo che (indico co $g_n$ l'estratta)
\[
\left(\int_\Omega|g'_n|^p\ dx\right)^\frac{1}{p}\ge c \int_\Omega|g'_n| dx
\]
\[
\ge c|\int_{-1}^1 g'_n(x)\ dx| = c |g_n(1)-g_n(-1)|>c\frac{1}{2} \quad \quad \text{per} n>n_0.
\]
Assurdo perche' $g'_n\to 0$ in $L^p$.
Allora abbiamo la tesi.
Spero sia giusta, (ho qualche dubbio sul passaggio che ho indicato).
Vedendo la soluzione di dissonance mi chiedo come mai non non riesca a fare mai una dimostrazione cosi' pulita, rischiando di fare invece molti passaggi dove spesso si nasconde qualche errore.
Cmq sicuramente tengo la tua dimostrazione, grazie mille.
A breve mi sa che arrivero' con un altro esercizio sullo stesso argomento.
La tua dimostrazione va bene.
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Ci vuole un po' di pratica con queste cose, purtroppo (come dicevo), all'università te le propinano come nozioni assolute, rigide e difficili. In realtà sono cose fluide, che vengono continuamente adattate, Bourgain ha fatto la sua fortuna costruendosi degli spazi di Sobolev adattati alle sue esigenze, ed è una medaglia Fields.
Insomma, sono nozioni che è più importante usare che studiare.
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Ci vuole un po' di pratica con queste cose, purtroppo (come dicevo), all'università te le propinano come nozioni assolute, rigide e difficili. In realtà sono cose fluide, che vengono continuamente adattate, Bourgain ha fatto la sua fortuna costruendosi degli spazi di Sobolev adattati alle sue esigenze, ed è una medaglia Fields.
Insomma, sono nozioni che è più importante usare che studiare.
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