[EX] - Estendere funzionali senza Hahn-Banach

[Sk_Anonymous]

Visto che si è generata una discussione con vari risvolti, propongo il seguente:

Esercizio. Sia \( \mathcal{H} \) uno spazio di Hilbert reale o complesso. Dato \( \mathcal{H}'\) sottospazio di \( \mathcal{H} \), mostrare senza far uso del teorema di Hahn-Banach che ogni funzionale lineare e continuo su \( \mathcal{H}' \) si estende ad un funzionale lineare e continuo su \( \mathcal{H} \) (con lo stesso bound).

Side quest. L'estensione è unica?

Hint:

Teorema di rappresentazione di Riesz.

[otta96]

Dato che non uso il suggerimento penso sia sbagliato ma vorrei sapere dov'è l'errore.

Per continuità il funzionale si estende a tutta la chiusura, che ha un supplementare topologico, definisco il funzionale $=0$ sul supplementare ed estendo per linearità e ho finito.
L'unicità la ho se e solo se il sottospazio è denso. Una direzione è ovvia, l'altra perché se non fosse denso nel procedimento di prima potrei far assumere in un vettore di norma $1$ del supplementare la norma del funzionale.

[Sk_Anonymous]

"otta96":Dato che non uso il suggerimento penso sia sbagliato ma vorrei sapere dov'è l'errore.

Per continuità il funzionale si estende a tutta la chiusura, che ha un supplementare topologico, definisco il funzionale $=0$ sul supplementare ed estendo per linearità e ho finito.
L'unicità la ho se e solo se il sottospazio è denso. Una direzione è ovvia, l'altra perché se non fosse denso nel procedimento di prima potrei far assumere in un vettore di norma $1$ del supplementare la norma del funzionale.

Penso in realtà che sia corretto, se ci pensi con Riesz arrivi esattamente alla stessa conclusione: \( \overline{\mathcal{H}'} \) con il prodotto scalare di \( \mathcal{H} \) è ancora un Hilbert, quindi esiste un unico \( y \in \overline{\mathcal{H}'} \) tale che il funzionale in questione sia del tipo \[ \begin{matrix} \ell : \overline{\mathcal{H}'} \to \mathbb{C} \\ x \mapsto (x,y). \end{matrix} \]Chiaramente il prodotto scalare è definito su tutto \(\mathcal{H} = \overline{\mathcal{H}'}^{\bot} \oplus \overline{\mathcal{H}'}\) e se prendi un \( z \in \mathcal{H} \) sarà del tipo \( z = z_1 + z_2 \in \overline{\mathcal{H}'}^{\bot} \oplus \overline{\mathcal{H}'} \) donde \( \ell(z) = \ell (z_1 + z_2)= \ell (z_2) = (z_2,y)\).