Espansione di Bessel
Non so se si chiami effettivamente così, ma l'ho trovata nel mio libro di antenne:
\(\displaystyle e^{ik\rho \sin\theta\cos(\phi-\beta)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}j^mJ_m(k\rho\sin\theta )e^{jm(\phi-\beta)} \)
dove \(\displaystyle k,\rho>0 \) e \(\displaystyle \theta,\phi,\beta\in [0,2\pi] \); $j$ è l'unità immaginaria e $J_m$ è la funzione di Bessel ordinaria di ordine $m$.
Mi piacerebbe capire la teoria che c'è dietro questa uguaglianza, se c'è qualcosa di mirato che potrei andarmi a studiare per giustificarla.
Vi ringrazio in anticipo.
\(\displaystyle e^{ik\rho \sin\theta\cos(\phi-\beta)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}j^mJ_m(k\rho\sin\theta )e^{jm(\phi-\beta)} \)
dove \(\displaystyle k,\rho>0 \) e \(\displaystyle \theta,\phi,\beta\in [0,2\pi] \); $j$ è l'unità immaginaria e $J_m$ è la funzione di Bessel ordinaria di ordine $m$.
Mi piacerebbe capire la teoria che c'è dietro questa uguaglianza, se c'è qualcosa di mirato che potrei andarmi a studiare per giustificarla.
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Si, l'ho vista anche io con il nome di "espansione di onde piane". Prova a dare un'occhiata a questo paper: https://arxiv.org/abs/0909.0494 (Non l'ho letto e non ti posso garantire sia scritto bene. Se ti dovesse sembrare strano ne riparliamo).
P.S.: Ho dato una scorsa, mi sembra corretto. È scritto da un ricercatore indipendente che non avevo mai letto prima, ecco perché non ero sicuro dell'autorevolezza. Ma mi sembra un buon compendio di formule ricavate in modo sufficientemente rigoroso.
P.S.: Ho dato una scorsa, mi sembra corretto. È scritto da un ricercatore indipendente che non avevo mai letto prima, ecco perché non ero sicuro dell'autorevolezza. Ma mi sembra un buon compendio di formule ricavate in modo sufficientemente rigoroso.
Ciao Silent,
Si tratta della funzione $ e^{j z sin\alpha} $, che è periodica rispetto alla variabile $\alpha $ con periodo $2\pi $, per cui il suo sviluppo in serie di Fourier esponenziale è il seguente:
$ e^{j z sin\alpha} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} k_m(z) e^{jm\alpha} $
ove i coefficienti $k_m(z) $ sono dati dall'espressione seguente:
$k_m(z) = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz sin\alpha}e^{- jm\alpha} \text{d}\alpha = J_m(z) $
ove l'ultima eguaglianza scritta è giustificata dal fatto che considerando la funzione generatrice di $J_m(z) $, cioè $e^{z/2(t - 1/t)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} J_m(z) t^m $, si riottiene lo sviluppo in serie di Fourier esponenziale già citato semplicemente ponendo $t := e^{j\alpha} $
Posto $\alpha := \phi - \beta + \pi/2 $, si ottiene:
$ e^{j z cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} j^m J_m(z) e^{jm(\phi - \beta)} $
Poi naturalmente è anche vero che si ha:
$ e^{j z cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} c_m(z) e^{jm(\phi - \beta)} $
ove $ c_m(z) = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos(\phi - beta)}e^{- jm(\phi - \beta)} \text{d}(\phi - beta) $
Quindi si ha:
$ j^m J_m(z) = c_m(z) = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos(\phi - beta)}e^{- jm(\phi - \beta)} \text{d}(\phi - beta) $
Da quest'ultima si ottiene proprio una delle espressioni integrali della funzione di Bessel ordinaria di ordine $m$, fra le quali riportiamo le seguenti:
$J_m(z) = 1/\pi \int_0^{\pi} cos(m\theta - z sin\theta) \text{d}\theta = j^(-m)/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos\theta} cos(m\theta) \text{d}\theta = j^(-m)/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos\theta} e^{- jm\theta} \text{d}\theta $
Dunque come si è visto si può scrivere:
$ e^{j z cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} j^m J_m(z) e^{jm(\phi - \beta)} $
Ponendo $z := k\rho sin\theta $ si ottiene proprio l'espressione che hai scritto (a parte che nell'esponenziale iniziale hai indicato con $i$ l'unità immaginaria invece che con $j$):
$ e^{j k\rho sin\theta cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} j^m J_m(k\rho sin\theta) e^{jm(\phi - \beta)} $
Si tratta della funzione $ e^{j z sin\alpha} $, che è periodica rispetto alla variabile $\alpha $ con periodo $2\pi $, per cui il suo sviluppo in serie di Fourier esponenziale è il seguente:
$ e^{j z sin\alpha} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} k_m(z) e^{jm\alpha} $
ove i coefficienti $k_m(z) $ sono dati dall'espressione seguente:
$k_m(z) = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz sin\alpha}e^{- jm\alpha} \text{d}\alpha = J_m(z) $
ove l'ultima eguaglianza scritta è giustificata dal fatto che considerando la funzione generatrice di $J_m(z) $, cioè $e^{z/2(t - 1/t)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} J_m(z) t^m $, si riottiene lo sviluppo in serie di Fourier esponenziale già citato semplicemente ponendo $t := e^{j\alpha} $
Posto $\alpha := \phi - \beta + \pi/2 $, si ottiene:
$ e^{j z cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} j^m J_m(z) e^{jm(\phi - \beta)} $
Poi naturalmente è anche vero che si ha:
$ e^{j z cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} c_m(z) e^{jm(\phi - \beta)} $
ove $ c_m(z) = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos(\phi - beta)}e^{- jm(\phi - \beta)} \text{d}(\phi - beta) $
Quindi si ha:
$ j^m J_m(z) = c_m(z) = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos(\phi - beta)}e^{- jm(\phi - \beta)} \text{d}(\phi - beta) $
Da quest'ultima si ottiene proprio una delle espressioni integrali della funzione di Bessel ordinaria di ordine $m$, fra le quali riportiamo le seguenti:
$J_m(z) = 1/\pi \int_0^{\pi} cos(m\theta - z sin\theta) \text{d}\theta = j^(-m)/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos\theta} cos(m\theta) \text{d}\theta = j^(-m)/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} e^{jz cos\theta} e^{- jm\theta} \text{d}\theta $
Dunque come si è visto si può scrivere:
$ e^{j z cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} j^m J_m(z) e^{jm(\phi - \beta)} $
Ponendo $z := k\rho sin\theta $ si ottiene proprio l'espressione che hai scritto (a parte che nell'esponenziale iniziale hai indicato con $i$ l'unità immaginaria invece che con $j$):
$ e^{j k\rho sin\theta cos(\phi - \beta)} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} j^m J_m(k\rho sin\theta) e^{jm(\phi - \beta)} $
Ciao Pilloeffe, approfitto di questo thread per una domanda, ultimamente mi sto trovando a dover fare dei conti proprio con queste funzioni di Bessel. La domanda é: perché qui appare \(J_m\) con \(m\) intero? Mi sarei aspettato la funzione di Bessel sferica, che é essenzialmente \(r^{-\tfrac12}J_{\tfrac12 +m}(r)\). In altri termini, la formula del paper che ho citato, e che riporto piú in basso, non c'entra nulla con la formula di questo thread?
Formula del paper:
\[
e^{i\vec r \cdot \vec k}=\sum_{\ell=0}^\infty i^\ell (2\ell +1) P_\ell(\cos \theta) j_\ell(kr), \]
dove \(\theta\) é l'angolo tra \(\vec r\) e \(\vec k\), \(P_\ell\) é il polinomio di Legendre e \(j_\ell\) é la funzione di Bessel sferica. Mi scuso per l'uso di i per l'unitá immaginaria ma \(j\) si confonde con la funzione di Bessel, e poi non ho mai usato \(j\) come unitá immaginaria per tutta la vita, mi sembrava strano iniziare adesso
Formula del paper:
\[
e^{i\vec r \cdot \vec k}=\sum_{\ell=0}^\infty i^\ell (2\ell +1) P_\ell(\cos \theta) j_\ell(kr), \]
dove \(\theta\) é l'angolo tra \(\vec r\) e \(\vec k\), \(P_\ell\) é il polinomio di Legendre e \(j_\ell\) é la funzione di Bessel sferica. Mi scuso per l'uso di i per l'unitá immaginaria ma \(j\) si confonde con la funzione di Bessel, e poi non ho mai usato \(j\) come unitá immaginaria per tutta la vita, mi sembrava strano iniziare adesso
Ciao dissonance,
Sinceramente nei 3 esami universitari (Comunicazioni Elettriche I, Campi Elettromagnetici e Circuiti I e Radiotecnica) del triennio nei quali mi sono dovuto occupare delle funzioni di Bessel (soprattutto per le antenne) ho sempre avuto a che fare con $m $ interi e spesso anche "piccoli": tipicamente erano usate le funzioni di Bessel $J_0 $, $J_1 $, $J_2$ e $J_3$.
Nel caso specifico della formula citata nell'OP di Silent poi era chiaro che $m$ doveva essere intero (essendo un indice di una serie bilatera) per cui non mi sono neanche posto il problema. Intendiamoci, magari questo è un mio limite: personalmente le formule del paper che hai citato per le antenne non le ho mai viste...
Sinceramente nei 3 esami universitari (Comunicazioni Elettriche I, Campi Elettromagnetici e Circuiti I e Radiotecnica) del triennio nei quali mi sono dovuto occupare delle funzioni di Bessel (soprattutto per le antenne) ho sempre avuto a che fare con $m $ interi e spesso anche "piccoli": tipicamente erano usate le funzioni di Bessel $J_0 $, $J_1 $, $J_2$ e $J_3$.
Nel caso specifico della formula citata nell'OP di Silent poi era chiaro che $m$ doveva essere intero (essendo un indice di una serie bilatera) per cui non mi sono neanche posto il problema. Intendiamoci, magari questo è un mio limite: personalmente le formule del paper che hai citato per le antenne non le ho mai viste...
Grazie ragazzi. 
@pilloeffe: Interessante. Quelle formule servono a scrivere la trasformata di Fourier in coordinate polari. Ma sono una gran rottura proprio perché fanno intervenire funzioni di Bessel di indice non intero. A prima vista pensavo fossero collegate a quelle di questo post, ma invece adesso mi accorgo che non c'entrano granché. 
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