Esistenza e unicita' della soluzione al problema di Dirichlet

[Peolo1]

Sia $U \subset \mathbb {R}^n$ un dominio aperto e limitato con $\partial U \in C^2$ e siano $\Phi \in C^0(\partial U)$ e $f \in C_2^2(\mathbb{R}^n)$ ( $f$ ha supporto compatto). Come posso mostrare che esiste ed e' unica la soluzione $u \in C^2(U) \cap C^0(\bar{U})$ al problema di Dirichlet
\begin{cases}
\Delta u = f & \text{in $U$} \\
u= \Phi & \text{su $\partial U$ }
\end{cases}
?

[Sk_Anonymous]

Un approccio standard potrebbe essere questo: supponi vi siano due soluzioni \(u_1 \ne u_2\); considera la funzione \(w(x) := u_1 (x) - u_2(x)\), che risolve il problema \[\begin{cases} \Delta w = 0 & \text{in } U \\ w \equiv 0 & \text{in } \partial U. \end{cases} \]Prendi l'energia \(\int_U |D w |^2 \, dx = \int_U D w \cdot D w \, dx \) e usa il teorema della divergenza.

[Raptorista1]

Se conosci i principi di massimo, all'unicità si arriva direttamente con la sostituzione suggerita da Delirium. L'esistenza è un'altra storia ed adesso non mi ricordo, però sicuramente la trovi sul libro di Sandro Salsa, o su molti altri.

[Peolo1]

"Delirium":Un approccio standard potrebbe essere questo: supponi vi siano due soluzioni \(u_1 \ne u_2\); considera la funzione \(w(x) := u_1 (x) - u_2(x)\), che risolve il problema \[\begin{cases} \Delta w = 0 & \text{in } U \\ w \equiv 0 & \text{in } \partial U. \end{cases} \]Prendi l'energia \(\int_U |D w |^2 \, dx = \int_U D w \cdot D w \, dx \) e usa il teorema della divergenza.

Grazie della risposta, comunque non sono tanto pratico di pde: potresti farmi vedere come si usa il teorema della divergenza in questo caso?

[LucreziaL1]

può essere