Esercizio:Disuguaglianza tra Integrali su spazi $L^1$
Salve,stavo cercando di dimostrare:
\( |\int_{-\infty}^{+\infty}f(y){\frac{sinA(x-y)}{x-y}}dy|\leq V_R(f)\int_0^\pi {\frac{sin(t)}{t}}dt \) per $A>0$(dove $V$ indica la variazione) dove $f in BV(R)$ e $f in L^1(R)$.
Per dimostrarlo ho fatto così:
In base ad alcuni argomenti trattati nel libro ottengo che
\( \int_0^\pi {\frac{sin(t)}{t}}dt<{\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}} \) ,
\( |\int_{-\infty}^{+\infty}f(y){\frac{sinA(x-y)}{x-y}}dy|\leq\int_{-\infty}^{+\infty}|f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|dy \)
e che
\( V_R(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(y)|dy \) .
Quindi riscrivo la disuguaglianza
\( \int_{-\infty}^{+\infty}|f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|dy \leq({\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}})\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(y)|dy \)
e poi
\( |f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|\leq({\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}})|f'(y)| \)
Per valutare il problema ho provato calcolare il liminf e limsup e sembrano confermare la disuguaglianza,ma io non sono sicuro di aver fatto bene.Se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi?
\( |\int_{-\infty}^{+\infty}f(y){\frac{sinA(x-y)}{x-y}}dy|\leq V_R(f)\int_0^\pi {\frac{sin(t)}{t}}dt \) per $A>0$(dove $V$ indica la variazione) dove $f in BV(R)$ e $f in L^1(R)$.
Per dimostrarlo ho fatto così:
In base ad alcuni argomenti trattati nel libro ottengo che
\( \int_0^\pi {\frac{sin(t)}{t}}dt<{\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}} \) ,
\( |\int_{-\infty}^{+\infty}f(y){\frac{sinA(x-y)}{x-y}}dy|\leq\int_{-\infty}^{+\infty}|f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|dy \)
e che
\( V_R(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(y)|dy \) .
Quindi riscrivo la disuguaglianza
\( \int_{-\infty}^{+\infty}|f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|dy \leq({\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}})\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(y)|dy \)
e poi
\( |f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|\leq({\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}})|f'(y)| \)
Per valutare il problema ho provato calcolare il liminf e limsup e sembrano confermare la disuguaglianza,ma io non sono sicuro di aver fatto bene.Se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi?
Risposte
Alcune domande e osservazioni:
1) nel primo integrale (e seguenti), si intende \(\sin \frac{A(x-y)}{x-y} = \sin A\)? Se non è così, meglio correggere...
2) Se \(f\in BV\cap L^1\), in generale la sua variazione totale non è data da \(\int_{\mathbb{R}} |f'|\, dx\).
1) nel primo integrale (e seguenti), si intende \(\sin \frac{A(x-y)}{x-y} = \sin A\)? Se non è così, meglio correggere...
2) Se \(f\in BV\cap L^1\), in generale la sua variazione totale non è data da \(\int_{\mathbb{R}} |f'|\, dx\).
Grazie,per il primo punto ho scritto male il primo membro,ora lo correggo.
Mentre per il secondo punto,come si fa a calcolare la variazione totale in questo caso?
Mentre per il secondo punto,come si fa a calcolare la variazione totale in questo caso?
"mklplo":
Mentre per il secondo punto,come si fa a calcolare la variazione totale in questo caso?
Trovi ad esempio qui la definizione.
L'esercizio non mi sembra del tutto elementare. Personalmente proverei prima a dimostrarlo nel caso in cui $f$ è la funzione caratteristica di un intervallo, per poi passare al caso generale.
Ti ringrazi,da quel che ho letto,la variazione è maggiore di \( \int_{R}|f(x)'|dx \),quindi mi rimane solo un ultimo dubbio:fatte queste correzioni la dimostrazione è corretta?
E se $f$ non è derivabile come definisci la variazione? Inoltre fai dei giochi con
\[
\int_{-\infty}^\infty \left\lvert \frac{\sin Ay}{y}\right\rvert\, dy\]
che non è convergente, vale infinito, è un errore analogo al dividere per zero.
A mio parere il tuo svolgimento è completamente sbagliato e non recuperabile in nessun modo.
\[
\int_{-\infty}^\infty \left\lvert \frac{\sin Ay}{y}\right\rvert\, dy\]
che non è convergente, vale infinito, è un errore analogo al dividere per zero.
A mio parere il tuo svolgimento è completamente sbagliato e non recuperabile in nessun modo.
Grazie,per quanto riguarda il primo punto,non so come rispondere,ma nel secondo,a parte applicare qualche regola,non mi sembra di aver fatto qualcosa di grave.
Ovviamente le regole sono:
\( |\int f(x)dx|\leq \int|f(x)|dx \)
e
\( \int f(x)dx \leq \int g(x) dx \) se e solo se \( f(x) \leq g(x) \)
Potresti spiegarmi meglio dov'è l'errore,e magari spiegarmi come avrei dovuto fare?
Ovviamente le regole sono:
\( |\int f(x)dx|\leq \int|f(x)|dx \)
e
\( \int f(x)dx \leq \int g(x) dx \) se e solo se \( f(x) \leq g(x) \)
Potresti spiegarmi meglio dov'è l'errore,e magari spiegarmi come avrei dovuto fare?
Rispondo al volo giusto per metterci una pezza, purtroppo ho pochissimo tempo, spero di non confonderti ancora di più.
E da dove esce questa disuguaglianza? Infatti è falsa: fai un test con \(f(x)=e^{-\sigma|x|}\), se \(\sigma\to 0\) il membro sinistro tende a \(+\infty\) mentre il destro è indipendente da \(\sigma\).
E che cosa sarebbe questa roba qui?
"mklplo":Non capisco a cosa ti serva una identità su \([0, \pi]\) visto che poi devi integrare su tutto \(\mathbb R\).
In base ad alcuni argomenti trattati nel libro ottengo che
\( \int_0^\pi {\frac{sin(t)}{t}}dt<{\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}} \) ,
Se \(f\) è \(C^1\) va bene, ma nessuno ce lo ha detto. Comunque, andiamo avanti:
\( |\int_{-\infty}^{+\infty}f(y){\frac{sinA(x-y)}{x-y}}dy|\leq\int_{-\infty}^{+\infty}|f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|dy \)
e che
\( V_R(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(y)|dy \) .
Quindi riscrivo la disuguaglianza
\( \int_{-\infty}^{+\infty}|f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|dy \leq({\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}})\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(y)|dy \)
E da dove esce questa disuguaglianza? Infatti è falsa: fai un test con \(f(x)=e^{-\sigma|x|}\), se \(\sigma\to 0\) il membro sinistro tende a \(+\infty\) mentre il destro è indipendente da \(\sigma\).
e poi
\( |f(y)||{\frac{sinA(x-y)}{x-y}}|\leq({\frac{\pi}{2}}+{\frac{2}{\pi}})|f'(y)| \)
E che cosa sarebbe questa roba qui?
grazie,se non vi dispiace,potreste spiegarmi come potevo dimostrare questa cosa.
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