[Esercizio] Zeri non banali uniformemente distribuiti

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Sia \( \zeta(s) \) la funzione zeta di Riemann, e assumi vera l'ipotesi di Riemann. Siano quindi \( 1/2 + i \gamma_1, 1/2+ i \gamma_2 , \ldots \) gli zeri non banali di \( \zeta(s) \) con parte immaginaria positiva, ordinati in modo tale che \( \gamma_1 \leq \gamma_2 \leq \ldots \).
Dimostra che \( \{ \gamma_n\}_{n \in \mathbb{N} } \) è distribuita uniformemente \( \mod 1 \).

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Hint 1:

Per \( T > 1 \), e \( x > 1 \) dimostra che
\[ \sum_{ \left| \gamma \right| \leq T} x^{\rho} = - \frac{T}{\pi} \Lambda_{\zeta}(x) + O(x^{3/2} \log^2 T) \]
dove \( \Lambda_{\zeta}(x) = \Lambda ( x) \) se \( x \in \mathbb{N} \) e \( \Lambda_{\zeta} (x) = 0 \) altrimenti, e dove \( \rho = 1/2 + i \gamma \) sono gli zeri non banali della zeta.

Hint 2:

Dimostrare dunque che
\[ \sum_{n = 1}^{N} e^{2 \pi m i \gamma_n} = o(N) \]
per ogni \(m \in \mathbb{N}\) e concludere