[Esercizio] Un "controesempio" a Liouville.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Il teorema di Liouville afferma che se una funzione \(f\) è intera e limitata allora è costante. Ma ponendo \( f(z)= \cos(z) + i \sin(z) \) abbiamo che certamente \(f\) è intera poiché \( \cos \) e \( \sin \) lo sono. Inoltre calcolando la norma di \(f\) abbiamo che
\[ \sqrt{ f(z) \overline{f(z)} } = \sqrt{ ( \cos(z) + i \sin(z) )( \cos(z) - i \sin(z))} = \sqrt{ \cos^2(z) + \sin^2(z)} = 1 \]
dunque è limitata, e per Liouville è costante. Ma chiaramente non lo è.

Dove sta l'errore?

[ot]Anche se è semplice, lo trovo molto carino.[/ot]

[LoreT314]

Non funziona la coniugazione. Non è vero che $\bar{\cos z+i \sin z}=\cos z -i\sin z$. In generale infatti $\cos z$ e $\sin z$ sono complessi. A titolo di esempio se prendi $z=i$ hai che $\sin z=-i \sinh (iz)=i \sinh (1)$ e $\cos z=\cosh (iz)=\cosh (1)$. Quindi in questo caso $\cos z+i \sin z \in RR$ e quindi $\bar{\cos z+i \sin z}=\cos z +i\sin z$.