Esercizio teorico su Trasformata di Fourier
Ciao a tutti.
Ho da risolvere...
"Data $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$. Provare che la Trasformata di Fourier della $f$ (che qui denoto con $\bar(f)$) è tale che $\bar(f) \in L^p(R^n)$, $\forall p \in [2; \infty]$."
Ho cominciato a pensare alle cose più disparate, del tipo...
Innanzitutto è facile verificare che se $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$ evidentemente sta in ogni $L^{p'}$ con $p' \in [1; 2]$. Così mi sono messo a pensare a risultati di dualità.. ed in effetti il Duale di L^{p'} è L^p con $p$ e $p'$ coniugati..
ma qui, ovviamente, mi sono arenato.
Anche perchè la Trasformata di Fourier la conosco si per L^1 e per L^2, ma non mi pare di ricordare nessun teorema per il quale la $\bar(f)$ dovesse vivere in un $L^p$ con $p>= 2$.
Qualcuno riesce a darmi un'idea?
Ho da risolvere...
"Data $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$. Provare che la Trasformata di Fourier della $f$ (che qui denoto con $\bar(f)$) è tale che $\bar(f) \in L^p(R^n)$, $\forall p \in [2; \infty]$."
Ho cominciato a pensare alle cose più disparate, del tipo...
Innanzitutto è facile verificare che se $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$ evidentemente sta in ogni $L^{p'}$ con $p' \in [1; 2]$. Così mi sono messo a pensare a risultati di dualità.. ed in effetti il Duale di L^{p'} è L^p con $p$ e $p'$ coniugati..
ma qui, ovviamente, mi sono arenato.
Anche perchè la Trasformata di Fourier la conosco si per L^1 e per L^2, ma non mi pare di ricordare nessun teorema per il quale la $\bar(f)$ dovesse vivere in un $L^p$ con $p>= 2$.
Qualcuno riesce a darmi un'idea?
Risposte
Devi usare la disuguaglianza di interpolazione delle norme $p$ (anche nota come "log-convexity of p norms", cerca sul blog di Terry Tao). Usa che, siccome $f\in L^1$, allora $\hat{f}\in L^\infty$, inoltre, siccome $f\in L^2$, $\hat{f}\in...$ continua...
Grazie per la risposta dissonance, ma.. un attimo per capire..
Penso che quella che tu indichi con log-convexity delle p norme è quanto io uso per dimostrare che una funzione $f \in L^p \cap L^q$ allora sta in tutti gli spazi $L^r$ con $r$ tra $p$ e $q$. (Che è stato, come ho scritto, il mio primo pensiero riguardo l'esercizio).
Quello che tu dici in fondo al tuo messaggio dovrebbe essere il risultato di dualità che ho comunque citato, quindi, per continuare se $f \in L^2$ allora $\bar(f) \in L^2$...
Se fin qua è così, mi viene ancora il dubbio su come agganciare tutto questo alla FT..
Grazie
Penso che quella che tu indichi con log-convexity delle p norme è quanto io uso per dimostrare che una funzione $f \in L^p \cap L^q$ allora sta in tutti gli spazi $L^r$ con $r$ tra $p$ e $q$. (Che è stato, come ho scritto, il mio primo pensiero riguardo l'esercizio).
Quello che tu dici in fondo al tuo messaggio dovrebbe essere il risultato di dualità che ho comunque citato, quindi, per continuare se $f \in L^2$ allora $\bar(f) \in L^2$...
Se fin qua è così, mi viene ancora il dubbio su come agganciare tutto questo alla FT..
Grazie
Abbiamo detto che $\hat{f}$ è una funzione sia $L^2$ sia $L^\infty$.
Come suggerito da dissonance, prova ad usare la "log-convexity of p norms":
per mostrare che allora $\hat{f}\in L^p$ per ogni $p\in[2,\infty]$.
Come suggerito da dissonance, prova ad usare la "log-convexity of p norms":
Sia $f\in L^p\cap L^q$ con $1\le p < q \le \infty$, allora
\[
||f||_r \le ||f||_p^{\theta}||f||_q^{1-\theta} \qquad \forall \theta\in [0,1] \qquad \frac{1}{r} = \frac{\theta}{p} + \frac{1-\theta}{q}
\]
per mostrare che allora $\hat{f}\in L^p$ per ogni $p\in[2,\infty]$.
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