Esercizio TdM(2)

[anto_zoolander]

Ciao!

[ot]metterò qualche esercizio sparso per sicurezza, il tempo di prenderci la mano.[/ot]

sia $(X,Sigma,mu)$ spazio di misura dove $mu(X)<+infty$, dimostrare che:

- ogni successione ${f_n}_(n in NN) in L^(1)(mu)$ se converge uniformemente a $f in RR^X$ allora $f in L^(1)(mu)$

- se $f_n->f$ uniformemente allora $int_X f_n dmu -> int_X fdmu$

Onestamente ho la sensazione che l'esercizio mi stia dicendo: 'dimostra che rispetto alla topologia indotta dalla sup-norma in $RR^X$, il sottoinsieme $L^(1)(mu)$ è chiuso'

Comunque: sia ${f_n}_(n in NN) subset L^(1)(mu)$

fissato $epsilon=1$, definitivamente, $|f_n(x)-f(x)|<1, forallx in X$
fissato dunque $n_(epsilon)=n in NN$ sufficientemente grande avremo $|f(x)|<1+|f_n(x)|, forallx in X$

integrando $int_X |f|dmuleqint_X(1+abs(f_n))dmu=int_X1dmu+int_Xabs(f_n)dmu=mu(X)+int_X abs(f_n)dmu$

a questo punto mi è parso di vedere la luce, visto che $f_n$ è integrabile(in valore assoluto ha integrale finito) e lo spazio ha misura finita: quindi $f$ è integrabile, ossia $f in L^(1)(mu)$

per finire

$abs(int_X f_n dmu-int_X f dmu)=abs(int_X(f_n-f)dmu)leqint_Xabs(f_n-f)dmuleqnorm(f_n-f)mu(X)->0$

[Bremen000]

Mi pare tutto giusto!