Esercizio TdM

[anto_zoolander]

Ciao!

siano $(X,Sigma,mu)$ uno spazio di misura e $f in L^(+)$ tale che $int_Xfdmu<+infty$
Dimostrare che

$forallepsilon>0 exists E in Sigma : int_Xfdmu-epsilon

si tratta di dimostrare che $s u p_(E in Sigma)int_Efdmu=int_Xfdmu$

Onestamente concluderei l'esercizio dicendo che $lambda$ è monotona.
Di fatto se $lambda(E)
Ma onestamente non mi piace, non fornisco alcuna costruzione dell'insieme $E$, cosa che invece vorrei fare.

Accetto hint, piccolissimi hint.

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Risposte

dissonance

22 gen 2019, 11:27

Non ho capito. È tutto ovvio, basta prendere \(E=X\) ovunque. Quindi quello che dici dopo è sicuramente sbagliato.

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anto_zoolander

22 gen 2019, 11:39

Ciao Peppe, scusa ma ho dimenticato un'ipotesi fondamentale: deve essere $mu(E)<+infty$

se $mu(X)<+infty$ allora è certamente ovvio perché appunto basta prendere $X=E$

il problema è se $mu(X)=+infty$

[ot]non è sbagliato quello che ho scritto però alla fine ho usato semplicemente il fatto che $lambda(E)=int_Efdmu$ è una misura e quindi monotona.[/ot]

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dissonance

22 gen 2019, 11:48

Devi anche aggiungere l'ipotesi che \(f\ne 0\). Quanto a ciò che dici dopo, quelle disuguaglianze strette sono false, basta vedere cosa succede sullo spazio di misura banale, in cui i misurabili sono solo \(\varnothing\) e \(X\).

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dissonance

22 gen 2019, 12:02

Comunque, se vuoi un suggerimento, poni
\[
E_n:=\{x\in X\ |\ f(x)>\frac1n\}.\]
Questa è una successione di insiemi di misura finita (da dimostrare - usa la disuguaglianza di Chebyshev), non sono tutti vuoti (però devi aggiungere l'ipotesi che \(f\) non si annulla quasi ovunque), etc...

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dissonance

22 gen 2019, 12:08

[ot]Stai migliorando molto. Ma ancora non mi piace come scrivi la matematica.

"anto_zoolander":
Dimostrare che

$forallepsilon>0 exists E in Sigma : int_Xfdmu-epsilon

Se si può evitare di usare simboli, è meglio. Questa cosa va scritta a parole. Anche perché, mentre \(\forall \) e \(\exists\) hanno bene o male un significato universale, i due punti per indicare "tale che" non ce l'hanno. Osserva con attenzione come scrivono gli utenti più avanzati; osserva Gugo, per esempio, che scrive molto su questo forum e scrive bene.

Di fatto se $lambda(E)
Oltre a quei due punti (vedi sopra), qua sono stato dieci minuti prima di capire che, per te, \(\subset\) significa "sottoinsieme *proprio*", mentre per praticamente tutto il resto del mondo \(\subset \) significa semplicemente "sottoinsieme". Te l'ho anche detto varie volte ma tu ti sei affezionato a questo simbolo usato così. Ma così come non capisco io, non capiranno moltissimi altri lettori.[/ot]

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anto_zoolander

22 gen 2019, 12:32

Ora provo ad usare questo.

[ot]grazie ancora pecco di ambiguità nell’utilizzo dei simbolismi.

Per quanto riguarda $subset$, da quel famoso post di topologia, ho cominciato ad intenderlo anche io come il resto del mondo, quindi d’ora in poi considera che lo usiamo allo stesso modo

Dopo pranzo provo l’esercizio e aggiorno il post[/ot]

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dissonance

22 gen 2019, 12:54

Quello di \(\subset\) è il fatto meno importante. La cosa principale è che ti dovresti sforzare di esprimerti a parole, usando di meno i simboli.

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dissonance

23 gen 2019, 10:32

Allora? Novità? Mi piacerebbe vedere se hai dei progressi.

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dissonance

23 gen 2019, 13:29

Stavo rivedendo il tuo svolgimento iniziale, è sbagliato.
(Dovresti modificare il post e correggerlo, perché manca una ipotesi importante).

"anto_zoolander":

Onestamente concluderei l'esercizio dicendo che $lambda$ è monotona.
Di fatto se $lambda(E)
Ma onestamente non mi piace, non fornisco alcuna costruzione dell'insieme $E$, cosa che invece vorrei fare.

Non ti piace perché è sbagliato. Immagino che con \(\lambda\) tu intenda la misura
\[
\lambda(A):=\int_A f\, dx,\]
(dovresti specificarlo!!! ogni volta che ti leggo è tutto un tirare a indovinare cosa volessi dire, è molto seccante). Nessuno garantisce che questa misura sia "strettamente monotona", come dici tu. Infatti, se \(A\subsetneq B\) allora
\[
\lambda(B)-\lambda(A)=\int_{B\setminus A} f\, dx, \]
e se \(f\) si annulla su \(B\setminus A\), ecco che \(\lambda(B)=\lambda(A)\).

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anto_zoolander

23 gen 2019, 14:07

Ho fatto un post veramente brutto, oh.
Perché inizialmente avevo scritto queste cose dopo aver posto $lambda(A)=int_Afdmu$, poi in fase finale l’ho cancellato non so per quale motivo. Non ho avuto ancora modo di riprovarci, la febbra mi tiene a letto.

Mi ci sto mettendo adesso, ti aggiorno tra un’oretta al massimo

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anto_zoolander

23 gen 2019, 16:09

intanto se $mu(X)<+infty$ o $f=0$ q.o. (sse $int_Xfdmu=0$) la soluzione è ovvia.

1. se $mu(X)<+infty$ l'insieme $X$ risolve il problema


2. $f=0$ q.o. $=> int_X fdmu=0 => int_Efdmu=0$ per ogni sottoinsieme di $X$ in particolare l'insieme vuoto risolve il problema poiché ha misura finita e risolve la disequazione $int_Xfdmu-epsilon0$

3. ora supponiamo che $mu(X)=+infty$ e $mu({fne0})>0$ e faccio le seguenti posizioni

$lambda(E)=int_E fdmu$

$E_n={x in X: f(x)>1/n}$

1. gli insiemi $E_n$ sono tutti non vuoti e convergono in maniera monotona a ${fne0}$

se $x in {fne0}$ allora $f(x)>0$ e quindi esiste almeno un naturale per cui $f(x)>1/n$

chiaramente $E_n subset E_(n+1)$ e $bigcup_(i in NN) E_i={fne0}$

2. gli insiemi $E_n$ hanno misura finita e positiva(definitivamente)

ora essendo $0+infty)mu(E_i)$ significa che definitivamente la successione è positiva(chiamo $k$ l'indice per cui vale definitivamente).

quì dovrei dimostrare che $mu(E_n)<+infty$ ma non ci riesco.

ora chiamo $B_n:=E_(n+k)$ per avere tutti gli insiemi di misura positiva strettamente
Chiaramente anche $lambda(B_i)$ è una successione monotona crescente. Inoltre sono tutti positivi poichè

$lambda(B_i)=int_(B_i)fdmu geq int_(B_i) 1/i dmu=1/i mu(B_i)>0$

e per finire $lambda(X)=lambda({fne0})=lambda(bigcup_(i=1)^(+infty)B_i)=lim_(i->+infty)lambda(B_i)$

quindi $lambda(B_i)$ è una successione che converge in maniera monotona a $lambda(X)$(che è un maggiorante) e dovrebbe non mancar nulla.

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Bremen000

23 gen 2019, 16:47

Ma scusa anto per l'ultimo punto supponi che esista $n$ tale che \(\mu(E_n) = + \infty \), allora.....

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vict85

23 gen 2019, 17:15

Non vedo cose di misura da due anni ma se \(\displaystyle E_n \) è definito come \(\displaystyle \Bigl\{ x\in X : f(x) > \frac1n \Bigr\} \) allora \[+\infty > \int_X f(x)d\mu \ge \int_{E_n} f(x)d\mu \ge \int_{E_n} \frac1n d\mu = \frac1n \int_{E_n} d\mu = \frac1n \mu(E_n) \] per ogni \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \).

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Bremen000

23 gen 2019, 17:19

[ot]La mia ossessione per le dimostrazioni per assurdo ha appena subito un brutto colpo...[/ot]

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dissonance

23 gen 2019, 17:22

"vict85":Non vedo cose di misura da due anni ma se \(\displaystyle E_n \) è definito come \(\displaystyle \Bigl\{ x\in X : f(x) > \frac1n \Bigr\} \) allora \[+\infty > \int_X f(x)d\mu \ge \int_{E_n} f(x)d\mu \ge \int_{E_n} \frac1n d\mu = \frac1n \int_{E_n} d\mu = \frac1n \mu(E_n) \] per ogni \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \).

Esatto! Volevo dire proprio questo quando parlavo di "disuguaglianza di Chebyshev".

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anto_zoolander

23 gen 2019, 18:38

pazzesco oh.
Ancora sono un po’ nemico di TdM: aspetto il famoso ‘click cerebrale’

Grazie vict! A questo punto penso che sia concluso l’esercizio

@peppe non l’avevo capito che fosse questa. L’ho cercata perché non la conoscevo ma non ho trovato nulla di simile

Ma poi sono pure cretino perché ho detto ‘$lambda(B_i)$ converge in maniera monotona a $lambda(X)$’.
Ho praticamente scritto $0<1/i mu(B_i)
Non ho parole

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dissonance

23 gen 2019, 21:22

[ot]Invece di fare questi commenti, "sono un cretino", ecc..., pensa a migliorare. Sbagliando si impara ma devi capire bene i tuoi errori. Devi lavorare sull'attenzione, sei troppo distratto. Me ne accorgo anche perché intervieni in vari topic contemporaneamente, anche quando non c'entrano niente tra loro.[/ot]

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anto_zoolander

23 gen 2019, 21:31

[ot]è un “sono cretino” folcloristico, qui lo usiamo a mo’ di “che sono sbadato”.
Cerco di spremermi il più possibile, però è vero, mi distraggo molto. Ancora devo imparare molto sul come restare concentrati.
Mi dispiace solo non aver visto la soluzione, nonostante l’avessi praticamente scritto[/ot]

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[dissonance]

Non ho capito. È tutto ovvio, basta prendere \(E=X\) ovunque. Quindi quello che dici dopo è sicuramente sbagliato.

[anto_zoolander]

Ciao Peppe, scusa ma ho dimenticato un'ipotesi fondamentale: deve essere $mu(E)<+infty$

se $mu(X)<+infty$ allora è certamente ovvio perché appunto basta prendere $X=E$

il problema è se $mu(X)=+infty$

[ot]non è sbagliato quello che ho scritto però alla fine ho usato semplicemente il fatto che $lambda(E)=int_Efdmu$ è una misura e quindi monotona.[/ot]

[dissonance]

Devi anche aggiungere l'ipotesi che \(f\ne 0\). Quanto a ciò che dici dopo, quelle disuguaglianze strette sono false, basta vedere cosa succede sullo spazio di misura banale, in cui i misurabili sono solo \(\varnothing\) e \(X\).

[dissonance]

Comunque, se vuoi un suggerimento, poni
\[
E_n:=\{x\in X\ |\ f(x)>\frac1n\}.\]
Questa è una successione di insiemi di misura finita (da dimostrare - usa la disuguaglianza di Chebyshev), non sono tutti vuoti (però devi aggiungere l'ipotesi che \(f\) non si annulla quasi ovunque), etc...

[dissonance]

[ot]Stai migliorando molto. Ma ancora non mi piace come scrivi la matematica.

"anto_zoolander":
Dimostrare che

$forallepsilon>0 exists E in Sigma : int_Xfdmu-epsilon

Se si può evitare di usare simboli, è meglio. Questa cosa va scritta a parole. Anche perché, mentre \(\forall \) e \(\exists\) hanno bene o male un significato universale, i due punti per indicare "tale che" non ce l'hanno. Osserva con attenzione come scrivono gli utenti più avanzati; osserva Gugo, per esempio, che scrive molto su questo forum e scrive bene.

Di fatto se $lambda(E)
Oltre a quei due punti (vedi sopra), qua sono stato dieci minuti prima di capire che, per te, \(\subset\) significa "sottoinsieme *proprio*", mentre per praticamente tutto il resto del mondo \(\subset \) significa semplicemente "sottoinsieme". Te l'ho anche detto varie volte ma tu ti sei affezionato a questo simbolo usato così. Ma così come non capisco io, non capiranno moltissimi altri lettori.[/ot]

[anto_zoolander]

Ora provo ad usare questo.

[ot]grazie ancora pecco di ambiguità nell’utilizzo dei simbolismi.

Per quanto riguarda $subset$, da quel famoso post di topologia, ho cominciato ad intenderlo anche io come il resto del mondo, quindi d’ora in poi considera che lo usiamo allo stesso modo

Dopo pranzo provo l’esercizio e aggiorno il post[/ot]

[dissonance]

Quello di \(\subset\) è il fatto meno importante. La cosa principale è che ti dovresti sforzare di esprimerti a parole, usando di meno i simboli.

[dissonance]

Allora? Novità? Mi piacerebbe vedere se hai dei progressi.

[dissonance]

Stavo rivedendo il tuo svolgimento iniziale, è sbagliato.
(Dovresti modificare il post e correggerlo, perché manca una ipotesi importante).

"anto_zoolander":

Onestamente concluderei l'esercizio dicendo che $lambda$ è monotona.
Di fatto se $lambda(E)
Ma onestamente non mi piace, non fornisco alcuna costruzione dell'insieme $E$, cosa che invece vorrei fare.

Non ti piace perché è sbagliato. Immagino che con \(\lambda\) tu intenda la misura
\[
\lambda(A):=\int_A f\, dx,\]
(dovresti specificarlo!!! ogni volta che ti leggo è tutto un tirare a indovinare cosa volessi dire, è molto seccante). Nessuno garantisce che questa misura sia "strettamente monotona", come dici tu. Infatti, se \(A\subsetneq B\) allora
\[
\lambda(B)-\lambda(A)=\int_{B\setminus A} f\, dx, \]
e se \(f\) si annulla su \(B\setminus A\), ecco che \(\lambda(B)=\lambda(A)\).

[anto_zoolander]

Ho fatto un post veramente brutto, oh.
Perché inizialmente avevo scritto queste cose dopo aver posto $lambda(A)=int_Afdmu$, poi in fase finale l’ho cancellato non so per quale motivo. Non ho avuto ancora modo di riprovarci, la febbra mi tiene a letto.

Mi ci sto mettendo adesso, ti aggiorno tra un’oretta al massimo

[anto_zoolander]

intanto se $mu(X)<+infty$ o $f=0$ q.o. (sse $int_Xfdmu=0$) la soluzione è ovvia.

1. se $mu(X)<+infty$ l'insieme $X$ risolve il problema


2. $f=0$ q.o. $=> int_X fdmu=0 => int_Efdmu=0$ per ogni sottoinsieme di $X$ in particolare l'insieme vuoto risolve il problema poiché ha misura finita e risolve la disequazione $int_Xfdmu-epsilon0$

3. ora supponiamo che $mu(X)=+infty$ e $mu({fne0})>0$ e faccio le seguenti posizioni

$lambda(E)=int_E fdmu$

$E_n={x in X: f(x)>1/n}$

1. gli insiemi $E_n$ sono tutti non vuoti e convergono in maniera monotona a ${fne0}$

se $x in {fne0}$ allora $f(x)>0$ e quindi esiste almeno un naturale per cui $f(x)>1/n$

chiaramente $E_n subset E_(n+1)$ e $bigcup_(i in NN) E_i={fne0}$

2. gli insiemi $E_n$ hanno misura finita e positiva(definitivamente)

ora essendo $0+infty)mu(E_i)$ significa che definitivamente la successione è positiva(chiamo $k$ l'indice per cui vale definitivamente).

quì dovrei dimostrare che $mu(E_n)<+infty$ ma non ci riesco.

ora chiamo $B_n:=E_(n+k)$ per avere tutti gli insiemi di misura positiva strettamente
Chiaramente anche $lambda(B_i)$ è una successione monotona crescente. Inoltre sono tutti positivi poichè

$lambda(B_i)=int_(B_i)fdmu geq int_(B_i) 1/i dmu=1/i mu(B_i)>0$

e per finire $lambda(X)=lambda({fne0})=lambda(bigcup_(i=1)^(+infty)B_i)=lim_(i->+infty)lambda(B_i)$

quindi $lambda(B_i)$ è una successione che converge in maniera monotona a $lambda(X)$(che è un maggiorante) e dovrebbe non mancar nulla.

[Bremen000]

Ma scusa anto per l'ultimo punto supponi che esista $n$ tale che \(\mu(E_n) = + \infty \), allora.....

[vict85]

Non vedo cose di misura da due anni ma se \(\displaystyle E_n \) è definito come \(\displaystyle \Bigl\{ x\in X : f(x) > \frac1n \Bigr\} \) allora \[+\infty > \int_X f(x)d\mu \ge \int_{E_n} f(x)d\mu \ge \int_{E_n} \frac1n d\mu = \frac1n \int_{E_n} d\mu = \frac1n \mu(E_n) \] per ogni \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \).

[Bremen000]

[ot]La mia ossessione per le dimostrazioni per assurdo ha appena subito un brutto colpo...[/ot]

[dissonance]

"vict85":Non vedo cose di misura da due anni ma se \(\displaystyle E_n \) è definito come \(\displaystyle \Bigl\{ x\in X : f(x) > \frac1n \Bigr\} \) allora \[+\infty > \int_X f(x)d\mu \ge \int_{E_n} f(x)d\mu \ge \int_{E_n} \frac1n d\mu = \frac1n \int_{E_n} d\mu = \frac1n \mu(E_n) \] per ogni \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \).

Esatto! Volevo dire proprio questo quando parlavo di "disuguaglianza di Chebyshev".

[anto_zoolander]

pazzesco oh.
Ancora sono un po’ nemico di TdM: aspetto il famoso ‘click cerebrale’

Grazie vict! A questo punto penso che sia concluso l’esercizio

@peppe non l’avevo capito che fosse questa. L’ho cercata perché non la conoscevo ma non ho trovato nulla di simile

Ma poi sono pure cretino perché ho detto ‘$lambda(B_i)$ converge in maniera monotona a $lambda(X)$’.
Ho praticamente scritto $0<1/i mu(B_i)
Non ho parole

[dissonance]

[ot]Invece di fare questi commenti, "sono un cretino", ecc..., pensa a migliorare. Sbagliando si impara ma devi capire bene i tuoi errori. Devi lavorare sull'attenzione, sei troppo distratto. Me ne accorgo anche perché intervieni in vari topic contemporaneamente, anche quando non c'entrano niente tra loro.[/ot]

[anto_zoolander]

[ot]è un “sono cretino” folcloristico, qui lo usiamo a mo’ di “che sono sbadato”.
Cerco di spremermi il più possibile, però è vero, mi distraggo molto. Ancora devo imparare molto sul come restare concentrati.
Mi dispiace solo non aver visto la soluzione, nonostante l’avessi praticamente scritto[/ot]